Что мы можем узнать о синусе угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D в кубе ABCDA1B1C1 с длиной ребра

Оксана_7222

70

Сначала давайте определим некоторые важные понятия, чтобы понять задачу.

1. Куб ABCDA1B1C1: Это куб со стороной длиной 1 единица измерения. Куб имеет 8 вершин - A, B, C, D, A1, B1, C1, D1, и 12 ребер.

2. Прямая AM: Это линия, которая соединяет вершину А и точку М на ребре A1D1. Длина отрезка A1M равна 1, а длина отрезка MD1 равна 4.

3. Диагональная плоскость BB1D1D: Это плоскость, которая проходит через вершины B, B1, D1 и D. Она является диагональной плоскостью куба.

Теперь рассмотрим угол ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D. Чтобы понять, что мы можем узнать о синусе этого угла, рассмотрим следующие шаги:

Шаг 1: Найдем координаты точек A, M и D1.

Так как длина ребра куба равна 1, то координаты вершины A равны (0, 0, 0). Точка M находится на ребре A1D1, и A1M:MD1=1:4. Поэтому координаты точки M будут (0, 0, 1/5), а координаты точки D1 будут (0, 0, 4/5).

Шаг 2: Найдем векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{D1B1}\).

Вектор \(\overrightarrow{AM}\) можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки M:
\(\overrightarrow{AM} = (0, 0, \frac{1}{5}) - (0, 0, 0) = (0, 0, \frac{1}{5})\).

Вектор \(\overrightarrow{D1B1}\) можно найти, вычитая координаты точки D1 из координат точки B1:
\(\overrightarrow{D1B1} = (0, 0, \frac{4}{5}) - (0, 0, 0) = (0, 0, \frac{4}{5})\).

Шаг 3: Найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{D1B1}\).

Скалярное произведение двух векторов \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)\) определяется следующей формулой:
\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\).

Применяя эту формулу к векторам \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{D1B1}\), получим:
\(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{D1B1} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{25}\).

Шаг 4: Найдем длины векторов \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{D1B1}\).

Длина вектора \(\overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)\) определяется следующей формулой:
\(|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2+ a_3^2}\).

Применяя эту формулу к векторам \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{D1B1}\), получим:
\(|\overrightarrow{AM}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \frac{1}{5}\).
\(|\overrightarrow{D1B1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}\).

Шаг 5: Найдем синус угла ϕ.

Синус угла ϕ между векторами \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{D1B1}\) находится по следующей формуле:
\(\sin{\phi} = \frac{\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{D1B1}}{|\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{D1B1}|}\).

Подставляя значения, которые мы нашли в предыдущих шагах, получим:
\(\sin{\phi} = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{4}{25}} = 1\).

Таким образом, мы можем узнать, что синус угла ϕ между прямой AM и диагональной плоскостью BB1D1D равен 1.