Какой объем имеет правильная треугольная пирамида, у которой высота составляет 12 см, а длина бокового ребра равна

Moroznaya_Roza

33

Хорошо, я готов помочь! Для начала нарисуем треугольную пирамиду для более наглядного представления.

\[
\begin{array}{c}
\\
\,\,\,\,\,\,\, /\,\,\,\,\,\,\,\\
\,\,\,\,\,/\,\,\,\,\,\,\,\,\, /\\
\,\,\,/\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, /\\
\,\,/\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, /\\
/__________________\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,20\,см
\end{array}
\]

Теперь рассмотрим особенности данной пирамиды. Мы знаем, что у данной треугольной пирамиды высота составляет 12 см, а длина бокового ребра (стороны треугольника) равна 20 см.

Чтобы найти объем пирамиды, нам необходимо использовать следующую формулу:

\[
V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h
\]

Где \(V\) - объем, \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания и \(h\) - высота.

Для начала найдем площадь основания. Дана треугольная пирамида, поэтому нам нужно найти площадь треугольника. Мы знаем длину бокового ребра, но чтобы найти площадь треугольника, нам необходимо знать длину его высоты.

\[
\begin{array}{c}
\\
\,\,/\,\,\,\,\,\,\,\,\\
/\,\,\,\,\,/\,\,\,\,\,\\
/.\,/\,\,\,\,\,\,\,\,\\
/./.\,/\,\,\,\,\,\,\,\\
/././.\,/\,\,\,\,\,\\
/./././.\\
/.\,20\,\,\,\,\,\,\,\, 12\,\,\,\,\\
\end{array}
\]

Так как треугольная пирамида является правильной, то высота, проведенная из вершины, делит основание на 2 равные части. Получаем 2 равных прямоугольных треугольника. Для одного из этих треугольников можем использовать теорему Пифагора для нахождения его высоты.

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Где \( c \) - гипотенуза, \( a \) и \( b \) - катеты прямоугольного треугольника.

В нашем случае, гипотенуза равна 20 см, а один из катетов равен 12 см (высоте пирамиды). Найдем длину другого катета:

\[ b^2 = c^2 - a^2 \]
\[ b^2 = 20^2 - 12^2 \]
\[ b^2 = 400 - 144 \]
\[ b^2 = 256 \]
\[ b = \sqrt{256}\]
\[ b = 16\]

Таким образом, длина второго катета равна 16 см.

После нахождения длины катета, мы можем найти площадь одного из треугольников:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \]
\[ S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 \]
\[ S_{\text{основания}} = 96 \, \text{см}^2 \]

Теперь остается только найти объем пирамиды, используя ранее указанную формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 96 \times 12 \]
\[ V = 384 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, правильная треугольная пирамида с высотой 12 см и длиной бокового ребра 20 см имеет объем 384 см\(^3\).