Что нужно найти в треугольнике ABC, где AC = BC = 12 и sin B = √21/5?

Yuzhanin

59

Для решения данной задачи, нам нужно найти остальные стороны и углы треугольника ABC.

Известно, что стороны AC и BC равны 12 единицам, а синус угла B равен \(\frac{\sqrt{21}}{5}\).

Для начала, давайте найдем значение угла B. Мы знаем, что синус угла B равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе. Так как синус B равен \(\frac{\sqrt{21}}{5}\), мы можем записать уравнение:

\[\sin B = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}\]
\[\frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{AC}{12}\]

Чтобы найти значение AC, умножим обе части уравнения на 12:

\[12 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = AC\]

Упростим это выражение:

\[AC = \frac{12\sqrt{21}}{5}\]

Теперь мы знаем значение стороны AC.

Для нахождения угла A мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов гласит, что отношение между сторонами треугольника и соответствующими синусами углов равно:

\[\frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}\]

Мы знаем значения AC и BC, а также синус угла B. Подставляем значения и находим AC:

\[\frac{\frac{12\sqrt{21}}{5}}{\sin A} = 12\]
\[\frac{\sqrt{21}}{5 \sin A} = 1\]
\[\sqrt{21} = 5 \sin A\]
\[\sin A = \frac{\sqrt{21}}{5}\]

Мы видим, что sin A также равен \(\frac{\sqrt{21}}{5}\).

Зная значение синуса угла A, мы можем найти значение угла A:

\[A = \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)\]

Данное выражение представляет собой обратную функцию синуса, которую можно вычислить с помощью калькулятора или математического софта. Таким образом, мы можем найти значение угла A.

Теперь, чтобы найти значение угла C, мы знаем, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. То есть:

\[A + B + C = 180^\circ\]

Подставим значения:

\[\arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right) + \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right) + C = 180^\circ\]

Теперь решим это уравнение, изолируя значение угла C:

\[C = 180^\circ - 2 \cdot \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)\]

Таким образом, мы нашли значения всех углов треугольника ABC.

Для уточнения ответов и окончательного решения задачи, рекомендуется использовать калькулятор или математический софт для конкретных вычислений.