Что нужно сделать с функцией y = 2cos3x+13cos2x+26cosx для нахождения наибольшего и наименьшего значений?

Lastochka_5515

28

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции \(y = 2\cos(3x) + 13\cos(2x) + 26\cos(x)\), мы должны использовать свойства и график функции косинуса.

\(y = 2\cos(3x) + 13\cos(2x) + 26\cos(x)\) - это функция, которая объединяет несколько косинусов с различными амплитудами и частотами. Каждый косинус вносит вклад в окончательное значение функции \(y\) в зависимости от значения аргумента \(x\).

Для определения наибольших и наименьших значений данной функции, мы должны проанализировать каждую из частей функции и определить, когда каждая из них достигает своего экстремального значения.

Давайте проанализируем каждое слагаемое по очереди:

1. Слагаемое \(2\cos(3x)\):
Функция \(y = 2\cos(3x)\) имеет амплитуду 2 и период \(T = \frac{2\pi}{3}\).
Максимальное значение функции будет достигаться, когда косинус равен 1, а минимальное значение - когда косинус равен -1.
Итак, максимальное значение этого слагаемого равно \(2\) и достигается, когда \(\cos(3x) = 1\). Чтобы найти значения \(x\), которые удовлетворяют этому условию, мы решаем уравнение \(3x = 2\pi n\) (где \(n\) - целое число).
Аналогично, минимальное значение этого слагаемого равно \(-2\) и достигается, когда \(\cos(3x) = -1\).

2. Слагаемое \(13\cos(2x)\):
Функция \(y = 13\cos(2x)\) имеет амплитуду 13 и период \(T = \pi\).
Максимальное значение этого слагаемого равно \(13\) и достигается, когда \(\cos(2x) = 1\). Решая уравнение \(2x = 2\pi n\) (где \(n\) - целое число), мы можем найти значения \(x\), которые дают максимальное значение.
Минимальное значение этого слагаемого равно \(-13\) и достигается, когда \(\cos(2x) = -1\).

3. Слагаемое \(26\cos(x)\):
Функция \(y = 26\cos(x)\) имеет амплитуду 26 и период \(T = 2\pi\).
Максимальное значение этого слагаемого равно \(26\) и достигается, когда \(\cos(x) = 1\). Решая уравнение \(x = 2\pi n\) (где \(n\) - целое число), мы можем найти значения \(x\), которые дают максимальное значение.
Минимальное значение этого слагаемого равно \(-26\) и достигается, когда \(\cos(x) = -1\).

Учитывая все пункты выше, мы можем сделать следующие выводы о наибольших и наименьших значениях исходной функции \(y = 2\cos(3x) + 13\cos(2x) + 26\cos(x)\):

- Наибольшее значение функции равно \(26 + 13 + 2 = 41\) и достигается, когда:
- \(\cos(3x) = 1\) (т.е. \(3x = 2\pi n\)),
- \(\cos(2x) = 1\) (т.е. \(2x = 2\pi n\)),
- \(\cos(x) = 1\) (т.е. \(x = 2\pi n\)).
- Наименьшее значение функции равно \(-26 - 13 - 2 = -41\) и достигается, когда:
- \(\cos(3x) = -1\) (т.е. \(3x = (2n + 1)\pi\)),
- \(\cos(2x) = -1\) (т.е. \(2x = (2n + 1)\pi\)),
- \(\cos(x) = -1\) (т.е. \(x = (2n + 1)\pi\)).

Подставляя значения \(x\), полученные из уравнений, в исходную функцию \(y\), мы можем проверить, что полученные значения действительно являются наибольшим и наименьшим значениями. Например, для максимального значения \(41\), мы должны найти такие значения \(x\), чтобы все косинусы были равны 1.