Что представляет собой третий член убывающей геометрической прогрессии, если первый член составляет 18, а сумма второго

Владимировна

34

Добрый день! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас дана убывающая геометрическая прогрессия, где первый член равен 18. Обозначим его как \(a_1 = 18\).

Для нахождения третьего члена прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

Мы знаем, что сумма второго и четвертого членов равна 60. Поэтому, мы можем записать:

\[a_2 + a_4 = 60\]

Давайте найдем каждый из этих членов по формуле:

\[a_2 = a_1 \cdot r^{(2-1)}\]

\[a_4 = a_1 \cdot r^{(4-1)}\]

Подставим значения в уравнение:

\[a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^3 = 60\]

Выражаем \(a_1\) через \(r\):

\[18r + 18r^3 = 60\]

Делим каждую часть уравнения на 18:

\[r + r^3 = \frac{60}{18}\]

\[r + r^3 = \frac{10}{3}\]

Заметим, что третий член фактически должен быть \(a_3 = a_1 \cdot r^{(3-1)}\), но для удобства используем обозначение третьего члена \(a_3 = x\). Тогда получим уравнение:

\[18r^2 = x\]

Теперь мы можем решить систему из уравнений:

\[
\begin{cases}
r + r^3 = \frac{10}{3}\\
18r^2 = x\\
\end{cases}
\]

Мы можем решить это уравнение численными значениями или использовать графический метод. Предлагаю воспользоваться графическим методом. Построим графики двух функций и найдем точку их пересечения.

\[
\begin{align*}
y_1 &= r + r^3\\
y_2 &= \frac{10}{3}
\end{align*}
\]

Построим графики:

\[
\begin{align*}
\text{Graph}(y_1) &= \text{Plot}(r + r^3)\\
\text{Graph}(y_2) &= \text{Plot}(\frac{10}{3})
\end{align*}
\]

Пересечение графиков нас интересует, так как в этой точке значения \(r\) и \(x\) должны удовлетворять обоим уравнениям системы.

Как только мы найдем точку пересечения, мы можем определить значение третьего члена прогрессии \(x = 18r^2\) для этого значения \(r\).

Идем в Algebrator Lab