Что предвидит определение площади области, закрытой графиком функции f(x) =5-0,6x², касательницей в точке с абсциссой

Жужа

57

Для решения этой задачи нам потребуется несколько шагов. Давайте разберемся с ними по порядку.

Шаг 1: Найдем точки пересечения графика функции \(f(x) = 5 - 0.6x^2\) с линиями \(x = -3\) и \(x = 1\).

Для этого подставим значение x из каждой линии в уравнение функции и найдем соответствующие значения y.

Для линии \(x = -3\) получим:
\[f(-3) = 5 - 0.6(-3)^2\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[f(-3) = 5 - 0.6 \cdot 9 = 5 - 5.4 = -0.4\]

Таким образом, точка пересечения графика функции с линией \(x = -3\) имеет координаты \((-3, -0.4)\).

Аналогично, для линии \(x = 1\) получим:
\[f(1) = 5 - 0.6(1)^2\]

Выполняя вычисления:
\[f(1) = 5 - 0.6 = 4.4\]

Точка пересечения графика функции с линией \(x = 1\) имеет координаты \((1, 4.4)\).

Шаг 2: Найдем точку касания касательной к графику функции \(f(x)\) в точке с абсциссой \(x = -3\).

Для этого нам понадобится производная функции \(f(x)\). Вычислим ее следующим образом:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(5 - 0.6x^2)\]

Извлечение производной выполним по правилам дифференцирования. Получаем:
\[f"(x) = 0 - 1.2x = -1.2x\]

Теперь найдем значение производной в точке \(x = -3\):
\[f"(-3) = -1.2 \cdot (-3) = 3.6\]

Таким образом, наклон (значение производной) касательной в точке \(x = -3\) равен 3.6.

Теперь, чтобы найти точку касания, нам необходимо составить уравнение касательной, используя найденное значение наклона и координаты точки на кривой. Уравнение касательной имеет вид:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

где \(y_1\) и \(x_1\) - координаты точки на кривой, \(m\) - наклон (значение производной) касательной.

Подставляя известные значения в уравнение, получаем:
\[y - (-0.4) = 3.6(x - (-3))\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[y + 0.4 = 3.6(x + 3)\]
\[y = 3.6x + 10.8 - 0.4\]
\[y = 3.6x + 10.4\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке с абсциссой \(x = -3\) имеет вид \(y = 3.6x + 10.4\).

Шаг 3: Найдем площадь области, закрытой графиком функции \(f(x)\), касательной в точке с абсциссой \(x = -3\) и линией \(x = 1\).

Для этого нам необходимо вычислить определенный интеграл функции \(f(x)\) на интервале от точки пересечения графика функции и касательной до точки пересечения графика функции и линии.

Первым шагом нам необходимо найти точку пересечения графика функции и касательной. Для этого решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = f(x) \\ y = 3.6x + 10.4 \end{cases}\]

Подставляя значение \(f(x)\) вместо \(y\) во второе уравнение, получаем:
\[5 - 0.6x^2 = 3.6x + 10.4\]

Перенесем все слагаемые влево и получим уравнение:
\[0.6x^2 + 3.6x - 5 - 10.4 = 0\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[0.6x^2 + 3.6x - 15.4 = 0\]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (3.6)^2 - 4 \cdot 0.6 \cdot (-15.4) = 12.96 + 36.96 = 49.92\]

Теперь найдем значения \(x\) с помощью формулы для квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[\begin{cases} x_1 = \frac{-3.6 + \sqrt{49.92}}{2 \cdot 0.6} \\ x_2 = \frac{-3.6 - \sqrt{49.92}}{2 \cdot 0.6} \end{cases}\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[\begin{cases} x_1 \approx 1.948 \\ x_2 \approx -9.948 \end{cases}\]

Так как интересующая нас область находится между \(x = -3\) и \(x = 1\), то нам нужна только точка \(x_1 \approx 1.948\).

Теперь мы можем вычислить площадь области, закрытой графиком функции, касательной и линией. Для этого вычислим определенный интеграл функции \(f(x)\) на интервале от \(x = -3\) до \(x \approx 1.948\).

Обозначим интеграл как \(S\):
\[S = \int_{-3}^{1.948} (5 - 0.6x^2)dx\]

Вычислим этот интеграл. Сначала найдем первообразную функции \(f(x)\):
\[F(x) = \int (5 - 0.6x^2)dx = 5x - \frac{0.6}{3}x^3 + C\]

Теперь вычислим значение интеграла:
\[S = F(1.948) - F(-3)\]
\[S = (5 \cdot 1.948 - \frac{0.6}{3}(1.948)^3) - (5 \cdot (-3) - \frac{0.6}{3}(-3)^3)\]

Выполняя вычисления:
\[S \approx 23.308 - (-43.8)\]
\[S \approx 23.308 + 43.8\]
\[S \approx 67.108\]

Таким образом, площадь области, закрытой графиком функции \(f(x) = 5 - 0.6x^2\), касательной в точке \(x = -3\) и линией \(x = 1\), составляет приблизительно 67.108 единиц квадратных.

Этот ответ был получен путем пошагового решения задачи, и каждый шаг был подробно объяснен и обоснован, чтобы быть понятным для школьника.