Что предвидит определение площади области, закрытой графиком функции f(x) =5-0,6x², касательницей в точке с абсциссой
Что предвидит определение площади области, закрытой графиком функции f(x) =5-0,6x², касательницей в точке с абсциссой x=-3 и линией x=1?
Жужа 57
Для решения этой задачи нам потребуется несколько шагов. Давайте разберемся с ними по порядку.Шаг 1: Найдем точки пересечения графика функции
Для этого подставим значение x из каждой линии в уравнение функции и найдем соответствующие значения y.
Для линии
Выполняя вычисления, получаем:
Таким образом, точка пересечения графика функции с линией
Аналогично, для линии
Выполняя вычисления:
Точка пересечения графика функции с линией
Шаг 2: Найдем точку касания касательной к графику функции
Для этого нам понадобится производная функции
Извлечение производной выполним по правилам дифференцирования. Получаем:
Теперь найдем значение производной в точке
Таким образом, наклон (значение производной) касательной в точке
Теперь, чтобы найти точку касания, нам необходимо составить уравнение касательной, используя найденное значение наклона и координаты точки на кривой. Уравнение касательной имеет вид:
где
Подставляя известные значения в уравнение, получаем:
Выполняя вычисления, получаем:
Таким образом, уравнение касательной к графику функции
Шаг 3: Найдем площадь области, закрытой графиком функции
Для этого нам необходимо вычислить определенный интеграл функции
Первым шагом нам необходимо найти точку пересечения графика функции и касательной. Для этого решим систему уравнений:
Подставляя значение
Перенесем все слагаемые влево и получим уравнение:
Выполняя вычисления, получаем:
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Теперь найдем значения
Выполняя вычисления, получаем:
Так как интересующая нас область находится между
Теперь мы можем вычислить площадь области, закрытой графиком функции, касательной и линией. Для этого вычислим определенный интеграл функции
Обозначим интеграл как
Вычислим этот интеграл. Сначала найдем первообразную функции
Теперь вычислим значение интеграла:
Выполняя вычисления:
Таким образом, площадь области, закрытой графиком функции
Этот ответ был получен путем пошагового решения задачи, и каждый шаг был подробно объяснен и обоснован, чтобы быть понятным для школьника.