Что предвидит определение площади области, закрытой графиком функции f(x) =5-0,6x², касательницей в точке с абсциссой

  • 59
Что предвидит определение площади области, закрытой графиком функции f(x) =5-0,6x², касательницей в точке с абсциссой x=-3 и линией x=1?
Жужа
57
Для решения этой задачи нам потребуется несколько шагов. Давайте разберемся с ними по порядку.

Шаг 1: Найдем точки пересечения графика функции f(x)=50.6x2 с линиями x=3 и x=1.

Для этого подставим значение x из каждой линии в уравнение функции и найдем соответствующие значения y.

Для линии x=3 получим:
f(3)=50.6(3)2

Выполняя вычисления, получаем:
f(3)=50.69=55.4=0.4

Таким образом, точка пересечения графика функции с линией x=3 имеет координаты (3,0.4).

Аналогично, для линии x=1 получим:
f(1)=50.6(1)2

Выполняя вычисления:
f(1)=50.6=4.4

Точка пересечения графика функции с линией x=1 имеет координаты (1,4.4).

Шаг 2: Найдем точку касания касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x=3.

Для этого нам понадобится производная функции f(x). Вычислим ее следующим образом:

f"(x)=ddx(50.6x2)

Извлечение производной выполним по правилам дифференцирования. Получаем:
f"(x)=01.2x=1.2x

Теперь найдем значение производной в точке x=3:
f"(3)=1.2(3)=3.6

Таким образом, наклон (значение производной) касательной в точке x=3 равен 3.6.

Теперь, чтобы найти точку касания, нам необходимо составить уравнение касательной, используя найденное значение наклона и координаты точки на кривой. Уравнение касательной имеет вид:
yy1=m(xx1)

где y1 и x1 - координаты точки на кривой, m - наклон (значение производной) касательной.

Подставляя известные значения в уравнение, получаем:
y(0.4)=3.6(x(3))

Выполняя вычисления, получаем:
y+0.4=3.6(x+3)
y=3.6x+10.80.4
y=3.6x+10.4

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x=3 имеет вид y=3.6x+10.4.

Шаг 3: Найдем площадь области, закрытой графиком функции f(x), касательной в точке с абсциссой x=3 и линией x=1.

Для этого нам необходимо вычислить определенный интеграл функции f(x) на интервале от точки пересечения графика функции и касательной до точки пересечения графика функции и линии.

Первым шагом нам необходимо найти точку пересечения графика функции и касательной. Для этого решим систему уравнений:

{y=f(x)y=3.6x+10.4

Подставляя значение f(x) вместо y во второе уравнение, получаем:
50.6x2=3.6x+10.4

Перенесем все слагаемые влево и получим уравнение:
0.6x2+3.6x510.4=0

Выполняя вычисления, получаем:
0.6x2+3.6x15.4=0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D=b24ac=(3.6)240.6(15.4)=12.96+36.96=49.92

Теперь найдем значения x с помощью формулы для квадратного уравнения:

x=b±D2a

{x1=3.6+49.9220.6x2=3.649.9220.6

Выполняя вычисления, получаем:
{x11.948x29.948

Так как интересующая нас область находится между x=3 и x=1, то нам нужна только точка x11.948.

Теперь мы можем вычислить площадь области, закрытой графиком функции, касательной и линией. Для этого вычислим определенный интеграл функции f(x) на интервале от x=3 до x1.948.

Обозначим интеграл как S:
S=31.948(50.6x2)dx

Вычислим этот интеграл. Сначала найдем первообразную функции f(x):
F(x)=(50.6x2)dx=5x0.63x3+C

Теперь вычислим значение интеграла:
S=F(1.948)F(3)
S=(51.9480.63(1.948)3)(5(3)0.63(3)3)

Выполняя вычисления:
S23.308(43.8)
S23.308+43.8
S67.108

Таким образом, площадь области, закрытой графиком функции f(x)=50.6x2, касательной в точке x=3 и линией x=1, составляет приблизительно 67.108 единиц квадратных.

Этот ответ был получен путем пошагового решения задачи, и каждый шаг был подробно объяснен и обоснован, чтобы быть понятным для школьника.