Что такое длина диагонали bd прямоугольника abcd, если угол между диагональю и стороной bc составляет 30° и сторона
Что такое длина диагонали bd прямоугольника abcd, если угол между диагональю и стороной bc составляет 30° и сторона dc известна?
Yarilo 68
Чтобы ответить на этот вопрос, давайте вспомним некоторые свойства прямоугольника.Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы равны 90°. В прямоугольнике abcd мы знаем, что угол между диагональю bd и стороной bc составляет 30°. Давайте обозначим сторону dc как x.
Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти длину диагонали bd.
Сперва найдем длину стороны bc. Мы знаем, что противоположный катет в прямоугольном треугольнике bcd равен x (сторона dc). Также мы знаем, что угол между гипотенузой bd и одним из катетов bc составляет 30°. При помощи тригонометрического отношения для тангенса мы можем записать:
\[\tan(30°) = \frac{x}{bc}\]
Мы знаем, что тангенс 30° равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому:
\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{bc}\]
Теперь мы можем найти длину стороны bc:
\[bc = \frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = x \cdot \sqrt{3}\]
Чтобы найти длину диагонали bd, мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике abd:
\[bd^2 = ad^2 + bc^2\]
В данном случае, сторона ad равна bc, так как abcd - прямоугольник. Поэтому:
\[bd^2 = bc^2 + bc^2 = 2 \cdot bc^2 = 2 \cdot (x \cdot \sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 \cdot x^2 = 6x^2\]
Чтобы найти длину диагонали bd, мы берем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
\[bd = \sqrt{6x^2} = \sqrt{6} \cdot x\]
Таким образом, длина диагонали bd прямоугольника abcd, при условии что угол между диагональю и стороной bc составляет 30°, а сторона dc известна, равна \(\sqrt{6} \cdot x\).