Что такое длина вектора, если векторы oc→ и od→ таковы, что 7oc→+8od→=0, а расстояние между точками с и d равно

Morskoy_Plyazh

29

Чтобы понять, что такое длина вектора и решить данную задачу, давайте разберемся сначала с понятием вектора и его свойствами.

Вектор - это направленный отрезок, который может быть представлен с помощью направляющих векторов. В данной задаче у нас есть два вектора oc→ и od→, и нам необходимо найти длину вектора, который может быть представлен суммой этих двух векторов.

Для начала, введем некоторые обозначения. Пусть A и B - координаты точек с и d соответственно. Тогда вектор oc→ можно записать как:

oc→ = B - A

Аналогично, вектор od→ можно записать как:

od→ = D - A

Где D - координаты точки d.

Условие задачи гласит, что 7oc→ + 8od→ = 0. Давайте подставим значения векторов и решим данное уравнение:

7(B - A) + 8(D - A) = 0

7B - 7A + 8D - 8A = 0

Перегруппируя слагаемые, получаем:

-15A + 7B + 8D = 0

Так как мы знаем, что расстояние между точками с и d равно 9, то можно записать следующее:

\(|oc→ + od→| = 9\)

Теперь заменим векторы oc→ и od→ их выражениями через координаты и получим:

\(\left| B - A + D - A \right| = 9\)

Сокращаем слагаемые и получаем:

\(\left| 2D - 2A \right| = 9\)

Таким образом, нам даны два уравнения:

-15A + 7B + 8D = 0 (1)
\(\left| 2D - 2A \right| = 9\) (2)

Мы можем решить данную систему методом замены или методом сложения уравнений. Я воспользуюсь методом замены.

Давайте из уравнения (1) выразим D через A и B:

8D = 15A - 7B

D = \(\frac{15}{8}\)A - \(\frac{7}{8}\)B

Теперь подставим это выражение для D в уравнение (2):

\(\left| 2\left(\frac{15}{8}\right)A - 2\left(\frac{7}{8}\right)B - 2A \right| = 9\)

Упростим выражение:

\(\left| \frac{19}{4}A - \frac{7}{4}B \right| = 9\)

Теперь обратимся к определению длины вектора. Длина вектора AB обозначается как |AB| и находится по формуле:

\(| AB | = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}\)

В нашем случае, вектор AB представляет собой вектор \( \frac{19}{4}A - \frac{7}{4}B \), поэтому его длина равна:

\(| AB | = \sqrt{\left( \frac{19}{4}A - \frac{7}{4}B \right)^2}\)

Учитывая, что мы знаем, что длина вектора AB равна 9, мы получаем следующее уравнение:

\(\sqrt{\left( \frac{19}{4}A - \frac{7}{4}B \right)^2} = 9\)

Для упрощения уравнения возведем обе части в квадрат:

\(\left( \frac{19}{4}A - \frac{7}{4}B \right)^2 = 81\)

Раскроем скобки:

\(\frac{19^2}{4^2}A^2 - 2 \cdot \frac{19}{4}A \cdot \frac{7}{4}B + \frac{7^2}{4^2}B^2 = 81\)

Упростим выражение:

\(\frac{361}{16}A^2 - 2 \cdot \frac{133}{16}AB + \frac{49}{16}B^2 = 81\)

Перенесем все члены уравнения влево:

\(\frac{361}{16}A^2 - 2 \cdot \frac{133}{16}AB + \frac{49}{16}B^2 - 81 = 0\)

Уравнение приведено к квадратному виду. Если мы решим данное уравнение относительно A, то мы сможем найти длину вектора AB.

Для решения однородного квадратного уравнения можно использовать дискриминант. Дискриминант равен нулю, если и только если у уравнения есть два равных корня.

В нашем случае дискриминант равен:

\(\Delta = \left( -2 \cdot \frac{133}{16}AB \right)^2 - 4 \cdot \frac{361}{16} \cdot \frac{49}{16}B^2 + 4 \cdot \frac{361}{16} \cdot 81\)

Упростим выражение:

\(\Delta = \frac{5329}{256}B^2 - \frac{1444}{16} \cdot 81\)

\(\Delta = \frac{5329}{256}B^2 - \frac{116424}{16}\)

\(\Delta = \frac{5329}{256}B^2 - \frac{7277}{4}\)

Так как нас интересует условие, когда дискриминант равен нулю, то получаем уравнение:

\(\frac{5329}{256}B^2 - \frac{7277}{4} = 0\)

Для решения данного уравнения можно воспользоваться факторизацией:

\(\left( \frac{73}{4}B - \frac{97}{8} \right) \left( \frac{73}{4}B + \frac{97}{8} \right) = 0\)

Таким образом, у нас два возможных значения для B:

\(\frac{73}{4}B - \frac{97}{8} = 0\) или \(\frac{73}{4}B + \frac{97}{8} = 0\)

Решая эти уравнения, получаем:

B = \(\frac{97}{146}\) или B = \(-\frac{97}{146}\)

Теперь, имея значение B, мы можем рассчитать значение A с помощью уравнения (1):

-15A + 7\(\left( \frac{97}{146} \right)\) + 8D = 0

Подставим выражение D, которое мы получили ранее:

-15A + 7\(\left( \frac{97}{146} \right)\) + 8\(\left( \frac{15}{8}A - \frac{7}{8}\left( \frac{97}{146} \right) \right)\) = 0

Решим это уравнение:

-15A + \(\frac{7}{146} \cdot 97 + \frac{15}{8}A - \frac{7}{8} \cdot \frac{97}{146}\) = 0

-15A + \(\frac{679}{146} + \frac{15}{8}A - \frac{7 \cdot 97}{8 \cdot 146}\) = 0

-15A + \(\frac{679}{146} + \frac{15}{8}A - \frac{679}{146}\) = 0

Упростим:

\(\frac{15}{8}A - 15A = 0\)

\(\frac{15}{8}A = 15A\)

A = \(\frac{1}{\frac{15}{8}}\)

A = \(\frac{8}{15}\)

Таким образом, мы получаем значения A и B:

A = \(\frac{8}{15}\)
B = \(\frac{97}{146}\) или B = \(-\frac{97}{146}\)

Теперь осталось найти длину вектора AB, используя формулу длины вектора:

\(|AB| = \sqrt{\left( \frac{19}{4}A - \frac{7}{4}B \right)^2}\)

Подставим значения A и B:

\(|AB| = \sqrt{\left( \frac{19}{4} \cdot \frac{8}{15} - \frac{7}{4} \cdot \frac{97}{146} \right)^2}\)

Упростим выражение:

\(|AB| = \sqrt{\left( \frac{19}{5} - \frac{683}{73 \cdot 2} \right)^2}\)

\(|AB| = \sqrt{\left( \frac{19}{5} - \frac{683}{146} \right)^2}\)

Выполним вычисления:

\(|AB| = \sqrt{\left( \frac{294}{73} - \frac{683}{146} \right)^2}\)

\(|AB| = \sqrt{\left( \frac{294 - 683}{73} \right)^2}\)

\(|AB| = \sqrt{\left( \frac{-389}{73} \right)^2}\)

\(|AB| = \frac{389}{73}\)

Таким образом, длина вектора AB равна \(\frac{389}{73}\) (ответ округлим до двух знаков после запятой).

Ответ: Длина вектора AB равна примерно 5.34.