Что такое объем конуса, если его образующая равна 13 и угол между образующей и плоскостью основания имеет синус, равный

Gosha

58

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать формулу для объема конуса. Объем конуса можно рассчитать как треть произведения площади основания на высоту.

Поскольку в задаче нам даны значения образующей и угла между образующей и плоскостью основания, мы можем использовать эти данные, чтобы найти высоту конуса.

Первым шагом я рассчитаю высоту конуса. Для этого воспользуемся определением синуса угла. Синус угла можно рассчитать как отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. В данном случае образующая может служить в качестве гипотенузы прямоугольного треугольника, а высота будет служить в качестве противолежащего катета.

Воспользуемся формулой синуса:
\[\sin(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Заметим, что у нас уже известны значения синуса (\(\frac{{12}}{{13}}\)) и гипотенузы (13), тогда мы можем найти противолежащий катет (высоту конуса).
Заменим известные значения и решим уравнение:
\[\frac{{12}}{{13}} = \frac{{\text{{высота конуса}}}}{{13}}\]

Перемножим оба числителя и знаменателя дроби на 13:
\[\frac{{12 \cdot 13}}{{13}} = \frac{{\text{{высота конуса}}}}{{13}}\]

Теперь рассчитаем значение высоты конуса:
\[\text{{высота конуса}} = 12\]

Теперь у нас есть значение высоты конуса, и мы можем использовать его в формуле для объема конуса. Формула для объема конуса выглядит следующим образом:
\[V = \frac{{\pi \cdot r^2 \cdot h}}{3}\]

Однако в задаче нам не дан радиус основания конуса, поэтому мы не можем найти его точное значение. Поэтому давайте предположим, что радиус равен 1. Тогда площадь основания равна \(\pi \cdot 1^2 = \pi\).

Заменим известные значения в формуле для объема конуса:
\[V = \frac{{\pi \cdot 1^2 \cdot 12}}{3}\]
\[V = \frac{{12\pi}}{3}\]
\[V = 4\pi\]

Таким образом, объем конуса при заданных условиях равен \(4\pi\).