What is the length of AB? Given that AC is 3 km, CB is 5 km, and the angle ACB is 120 degrees

Пятно

53

Чтобы найти длину отрезка AB, мы можем использовать закон косинусов. Закон косинусов гласит, что в треугольнике со сторонами a, b и c, и углом между сторонами c, формула для нахождения длины третьей стороны будет:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

В нашем случае, сторона AC равна 3 км, сторона CB равна 5 км, и угол ACB равен 120 градусам. Давайте подставим эти значения в формулу:

\[ AB^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) \]

\[ AB^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(120^\circ) \]

Теперь нам нужно вычислить значение \(\cos(120^\circ)\). В этом случае, \(\cos(120^\circ)\) будет отрицательным, так как угол 120 градусов находится в третьем квадранте, где значение косинуса отрицательно.

Мы можем использовать таблицы тригонометрических значений или калькулятор для определения значения \(\cos(120^\circ)\). Значение \(\cos(120^\circ)\) составляет -0.5.

\[ AB^2 = 9 + 25 - 30 \cdot -0.5 \]

\[ AB^2 = 9 + 25 + 15 \]

\[ AB^2 = 49 \]

Теперь, чтобы найти длину AB, мы должны извлечь квадратный корень из обоих сторон уравнения:

\[ AB = \sqrt{49} \]

\[ AB = 7 \]

Таким образом, длина отрезка AB составляет 7 км.