Что такое первообразная для функции f(x)=x^2-sinx?

Dozhd

19

Хорошо, давайте разберёмся с задачей. Первообразная функции - это функция, производная которой равна исходной функции. Для заданной функции \( f(x) = x^2 - \sin(x) \) мы должны найти такую функцию \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \).

Чтобы найти первообразную функцию \( F(x) \), нам понадобится использовать формулу интегрирования. В данном случае есть несколько подходов к решению. Давайте рассмотрим два из них.

Метод 1: Используем формулу интегрирования.

Исходя из того, что интеграл это обратный процесс производной, мы можем использовать формулу интегрирования для решения задачи. Обратите внимание, что формула интегрирования для функции \( x^n \), где \( n \) - это некоторая константа (целое число или дробь), выглядит следующим образом:

\[
\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C
\]

где \( C \) - это произвольная постоянная.

В нашем случае функция \( f(x) = x^2 - \sin(x) \) представлена суммой двух частей. Для каждой части мы найдем интеграл по отдельности.

Для первого слагаемого \( x^2 \) мы используем формулу интегрирования:

\[
\int x^2 \, dx = \frac{{x^{2+1}}}{{2+1}} + C_1 = \frac{{x^3}}{3} + C_1
\]

где \( C_1 \) - это постоянная.

Для второго слагаемого \( -\sin(x) \) мы запишем:

\[
\int -\sin(x) \, dx = -\cos(x) + C_2
\]

где \( C_2 \) - это тоже постоянная.

Теперь объединим два полученных интеграла:

\[
F(x) = \frac{{x^3}}{3} - \cos(x) + C
\]

где \( C \) - это общая постоянная, объединяющая обе постоянные \( C_1 \) и \( C_2 \).

Таким образом, первообразной для функции \( f(x) = x^2 - \sin(x) \) является функция \( F(x) = \frac{{x^3}}{3} - \cos(x) + C \).

Метод 2: Используем метод интегрирования по частям.

Существует еще один метод для интегрирования функций, называемый методом интегрирования по частям, который можно применить к функции \( f(x) = x^2 - \sin(x) \).

Метод интегрирования по частям основан на следующей формуле:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

где \( u \) и \( v \) - это функции, а \( du \) и \( dv \) - их дифференциалы.

Применим этот метод к нашей функции \( f(x) = x^2 - \sin(x) \). Выбираем:

\( u = x^2 \), тогда \( du = 2x \, dx \)

\( dv = dx \), тогда \( v = x \)

Подставляем значения в формулу:

\[
\int (x^2 - \sin(x)) \, dx = x^2 \cdot x - \int x \cdot 2x \, dx = x^3 - 2 \int x^2 \, dx
\]

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования для \( \int x^2 \, dx \), которую мы получили в методе 1:

\[
\int (x^2 - \sin(x)) \, dx = x^3 - 2 \cdot \left( \frac{{x^3}}{3} + C_1 \right) = x^3 - \frac{{2x^3}}{3} - 2C_1 = \frac{{x^3}}{3} - \frac{{2x^3}}{3} - 2C_1 = -\frac{{x^3}}{3} - 2C_1
\]

Объединяя константы, мы получаем:

\[
\int (x^2 - \sin(x)) \, dx = -\frac{{x^3}}{3} + C
\]

где \( C \) - это общая постоянная.

Итак, вторым методом мы получили, что первообразная для функции \( f(x) = x^2 - \sin(x) \) это \( -\frac{{x^3}}{3} + C \).

Оба способа дали одинаковый ответ, что подтверждает его правильность. Таким образом, первообразная для функции \( f(x) = x^2 - \sin(x) \) равна \( F(x) = \frac{{x^3}}{3} - \cos(x) + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.