Яким є відстань між двома паралельними прямими, представленими рівняннями 3x-4y-10=0 та 3x-4y+15=0?

Кристальная_Лисица

60

Для решения данной задачи, вам нужно найти расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными уравнениями \(3x-4y-10=0\) и \(3x-4y+15=0\).

Первым шагом, для нахождения расстояния между данными прямыми, нужно найти расстояние между ними вдоль перпендикуляра.

Выражение \(3x-4y-10=0\) можно переписать в виде \(y=\frac{3}{4}x-\frac{10}{4}\), или в более простом виде, как \(y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}\).

Аналогично, уравнение \(3x-4y+15=0\) можно переписать в виде \(y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}\), или \(y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}\).

Поскольку данные прямые параллельны, их наклоны равны.

Теперь найдем перпендикулярный вектор для данных прямых, используя коэффициенты перед \(x\) и \(y\) наклона прямой. Для уравнения \(y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{2}\), наклон \(m_1=\frac{3}{4}\), а для уравнения \(y=\frac{3}{4}x+\frac{15}{4}\), наклон \(m_2=\frac{3}{4}\).

Коэффициент перед \(x\) в уравнении прямой вектора постоянен и равен 1.

Пользуясь этими значениями, составим перпендикулярные векторы для данных прямых:

Первый вектор — \(\vec{v_1} = (1, -\frac{4}{3})\)

Второй вектор — \(\vec{v_2} = (1, -\frac{4}{3})\)

Теперь можно использовать эти векторы, чтобы найти пересечение перпендикуляра с любой из прямых. В данном случае, мы выберем первую прямую.

Учитывая, что у нас есть точка, \(P_1(x_1, y_1)\), на данной прямой, а именно \((0, -\frac{5}{2})\), мы можем записать уравнение прямой, проходящей через эту точку и перпендикулярную исходной прямой.

Уравнение этой прямой выглядит следующим образом:

\(\vec{v_1} \cdot \vec{P_1P} = 0\),

где \(\vec{P_1P}\) — вектор, направленный из точки \(P_1\) в точку \(P\) на перпендикуляре.

Теперь, используя координаты точки \(P_1\) и координаты точки \(P(x, y)\), мы можем подставить эти значения в уравнение, чтобы найти расстояние между прямыми.

Продолжение следует...