Что такое радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника с сторонами 5

Raduzhnyy_Mir

34

Радиус вписанной окружности треугольника - это расстояние от центра окружности до любой из его сторон. Радиус этой окружности обозначается символом \(r\).

Для того чтобы найти радиус вписанной окружности, нам потребуется знать длины сторон треугольника. В данной задаче длины сторон треугольника равны 5.

Используем формулу для вычисления площади треугольника, связанную с радиусом вписанной окружности:

\[S = r \cdot p\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника (сумма длин всех его сторон, в данном случае \(p = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}\)).

Известно также, что площадь треугольника можно выразить через длины его сторон используя формулу Герона:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

Подставим значения из условия задачи и найдем значение радиуса вписанной окружности:

\[\sqrt{\frac{15}{2} \cdot \left(\frac{15}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{15}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{15}{2} - 5\right)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{375}{16}}\]

Упростим выражение:

\[\sqrt{\frac{375}{16}} = \frac{\sqrt{375}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{375}}{4} = \frac{5\sqrt{15}}{4}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника с сторонами 5 равен \(\frac{5\sqrt{15}}{4}\).

Теперь перейдем к радиусу описанной окружности треугольника. Радиус описанной окружности - это расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника. Радиус описанной окружности также обозначается символом \(R\).

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся следующей формулой:

\[R = \frac{abc}{4S}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, а \(S\) - площадь треугольника.

Подставим значения из условия задачи:

\[R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{4 \cdot \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \left(\frac{15}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{15}{2} - 5\right) \cdot \left(\frac{15}{2} - 5\right)}} = \frac{125}{4 \cdot \sqrt{\frac{375}{16}}} = \frac{125}{4 \cdot \frac{\sqrt{375}}{\sqrt{16}}} = \frac{125}{4 \cdot \frac{\sqrt{375}}{4}} = \frac{125}{\sqrt{375}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{125}{\sqrt{375}} = \frac{125}{\sqrt{25 \cdot 15}} = \frac{125}{5\sqrt{15}} = \frac{25}{\sqrt{15}}\]

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника с сторонами 5 равен \(\frac{25}{\sqrt{15}}\).

Надеюсь, этот ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!