Что такое значение cos∠ABC в треугольнике ABC, если известно, что AB равно 14, BC равно 2 и AC равно

Yaponka

23

Чтобы найти значение \(\cos\angle ABC\) в треугольнике ABC, нам потребуется использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит: в треугольнике с сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и соответствующими противолежащими углами \(\angle A\), \(\angle B\) и \(\angle C\) соответственно, косинус угла \(\angle A\) можно найти по формуле:

\[
\cos\angle A = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}
\]

В нашем случае, стороны AB, BC и AC равны 14, 2 и \(x\) соответственно, где \(x\) - это значение, которое нам нужно найти.

Используя формулу теоремы косинусов, получим:

\[
\cos\angle ABC = \frac{{2^2 + x^2 - 14^2}}{{2 \cdot 2 \cdot x}}
\]

Теперь нам нужно решить это уравнение для \(x\). Вычислим:

\[
\cos\angle ABC = \frac{{4 + x^2 - 196}}{{4x}}
\]

Сокращаем дробь:

\[
\cos\angle ABC = \frac{{-192 + x^2}}{{4x}}
\]

Известно, что длина стороны треугольника не может быть отрицательной, следовательно, мы можем сделать вывод, что \(x > 0\).

Теперь нам нужно использовать известные значения сторон треугольника для решения уравнения. Подстановка значений AB = 14, BC = 2 и AC = x:

\[
\cos\angle ABC = \frac{{-192 + x^2}}{{4x}}
\]

\[
\cos\angle ABC = \frac{{-192 + 14^2}}{{4 \cdot 14}}
\]

\[
\cos\angle ABC = \frac{{-192 + 196}}{{56}}
\]

\[
\cos\angle ABC = \frac{4}{56}
\]

\[
\cos\angle ABC = \frac{1}{14}
\]

Таким образом, значение \(\cos\angle ABC\) в треугольнике ABC равно \(\frac{1}{14}\).