Что такое значение cos∠ABC в треугольнике ABC, если известно, что AB равно 14, BC равно 2 и AC равно

Yaponka

23

Чтобы найти значение $\cos \mathrm{\angle }ABC$ в треугольнике ABC, нам потребуется использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит: в треугольнике с сторонами $a$, $b$ и $c$ и соответствующими противолежащими углами $\mathrm{\angle }A$, $\mathrm{\angle }B$ и $\mathrm{\angle }C$ соответственно, косинус угла $\mathrm{\angle }A$ можно найти по формуле:

$$\cos \mathrm{\angle }A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

В нашем случае, стороны AB, BC и AC равны 14, 2 и $x$ соответственно, где $x$ - это значение, которое нам нужно найти.

Используя формулу теоремы косинусов, получим:

$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{2^2+x^2-{14}^2}{2\cdot 2\cdot x}$$

Теперь нам нужно решить это уравнение для $x$. Вычислим:

$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{4+x^2-196}{4x}$$

Сокращаем дробь:

$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{-192+x^2}{4x}$$

Известно, что длина стороны треугольника не может быть отрицательной, следовательно, мы можем сделать вывод, что $x>0$.

Теперь нам нужно использовать известные значения сторон треугольника для решения уравнения. Подстановка значений AB = 14, BC = 2 и AC = x:

$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{-192+x^2}{4x}$$

$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{-192+{14}^2}{4\cdot 14}$$

$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{-192+196}{56}$$

$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{4}{56}$$

$$\cos \mathrm{\angle }ABC=\frac{1}{14}$$

Таким образом, значение $\cos \mathrm{\angle }ABC$ в треугольнике ABC равно $\frac{1}{14}$.