cn) - арифметическая прогрессия. Определите разность арифметической прогрессии, если c3

Дракон

14

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать формулу для n-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - n-й член арифметической прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии и \(d\) - разность арифметической прогрессии.

У нас дано, что \(c_3\) - третий член прогрессии. Мы можем использовать эту информацию для поиска разности арифметической прогрессии.

Заменим в формуле известные значения нашей задачи:

\[c_3 = a_1 + (3-1)d\]

Так как нам нужно найти разность арифметической прогрессии, то нам известными являются только значение \(c_3\) и номер члена прогрессии \(n = 3\).

Мы не знаем значение первого члена прогрессии \(a_1\), поэтому необходимо исключить его из уравнения. Для этого воспользуемся еще одним выражением для n-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + \frac{{n-1}}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

Здесь мы можем использовать значение третьего члена прогрессии и заменить \(a_n\) и \(n\) в это уравнение:

\[c_3 = a_1 + \frac{{3-1}}{2}(2a_1 + (3-1)d)\]

Упростим это уравнение, выполнив соответствующие вычисления:

\[c_3 = a_1 + \frac{2}{2}(2a_1 + 2d)\]
\[c_3 = a_1 + (2a_1 + 2d)\]
\[c_3 = 3a_1 + 2d\]

Таким образом, мы получили новое уравнение, которое связывает разность арифметической прогрессии \(d\), первый член прогрессии \(a_1\) и третий член прогрессии \(c_3\).

Теперь у нас есть два уравнения:

\[\begin{cases} c_3 = a_1 + (3-1)d \\ c_3 = 3a_1 + 2d \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения неизвестных. Из первого уравнения выражаем \(a_1\):

\[a_1 = c_3 - 2d\]

Подставляем это значение во второе уравнение:

\[c_3 = 3(c_3 - 2d) + 2d\]

Раскрываем скобки:

\[c_3 = 3c_3 - 6d + 2d\]

Упрощаем уравнение:

\[c_3 = 2c_3 - 4d\]

Выражаем \(d\) через \(c_3\):

\[4d = c_3\]
\[d = \frac{{c_3}}{4}\]

Получили, что разность арифметической прогрессии равна четверти третьего члена прогрессии.

Таким образом, ответ на задачу: разность арифметической прогрессии равна \(\frac{{c_3}}{4}\).