Какие значения x удовлетворяют уравнению cos2x-√2 cos (π/2+x)+1=0, если x принадлежит отрезку (-5π ; -7π/2)?

  • 31
Какие значения x удовлетворяют уравнению cos2x-√2 cos (π/2+x)+1=0, если x принадлежит отрезку (-5π ; -7π/2)?
Никита
9
Чтобы решить данное уравнение и найти значения x, которые удовлетворяют ему, мы последовательно проделаем следующие шаги:

Шаг 1: Перепишем уравнение в виде, более удобном для решения:
cos(2x)2cos(π2+x)+1=0

Шаг 2: Воспользуемся формулами тригонометрии для упрощения выражения. Используем формулу разности для косинуса:
cosAcosB=sinAsinBcosAsinB
Применим эту формулу ко второму члену:
2cos(π2+x)=2(sinπ2sinxcosπ2sinx)=2(1sinx0sinx)=2sinx

Теперь подставим это обратно в уравнение:
cos(2x)2sinx+1=0

Шаг 3: Используем формулу двойного угла для косинуса:
cos2x=2cos2x1
Подставляем это обратно в уравнение:
2cos2x12sinx+1=0

Шаг 4: Упростим уравнение:
2cos2x2sinx=0

Шаг 5: Разделим уравнение на cosx:
2cosx2tanx=0

Шаг 6: Заменим tanx на sinxcosx:
2cosx2sinxcosx=0

Шаг 7: Умножим уравнение на cosx:
2cos2x2sinx=0

Шаг 8: Снова используем формулу двойного угла для косинуса:
2(1sin2x)2sinx=0

Шаг 9: Раскрытие скобок:
22sin2x2sinx=0

Шаг 10: Перегруппируем члены:
2sin2x2sinx+2=0

Шаг 11: Посмотрим на получившееся квадратное уравнение вида ax2+bx+c=0, где
a=2,
b=2,
c=2.

Используем квадратное уравнение с формулой дискриминанта:
x=b±b24ac2a

Шаг 12: Подставим в формулу значения a, b, c:
x=(2)±(2)24(2)(2)2(2)

Шаг 13: Выполним вычисления:
x=2±2+324
x=2±344

Шаг 14: Итак, получили два возможных значения x:
x1=2+344
x2=2344

Шаг 15: Нам нужно определить, принадлежат ли эти значения заданному интервалу (-5π ; -7π/2). Для этого преобразуем интервал в десятичные значения:

-5π ≈ -15.7
-7π/2 ≈ -10.99

Проверим, принадлежит ли первое значение x1 интервалу:
15.7<2+344<10.99

Проверим, принадлежит ли второе значение x2 интервалу:
15.7<2344<10.99

Шаг 16: Подставим числовые значения и проверим неравенства:

15.7<1.28<10.99
15.7<1.28<10.99

Поскольку оба неравенства не выполняются, значение x1 и x2 не принадлежат заданному интервалу.

Таким образом, у данного уравнения нет решений в заданном интервале (-5π ; -7π/2).