Какие значения x удовлетворяют уравнению cos2x-√2 cos (π/2+x)+1=0, если x принадлежит отрезку (-5π ; -7π/2)?

Никита

9

Чтобы решить данное уравнение и найти значения \(x\), которые удовлетворяют ему, мы последовательно проделаем следующие шаги:

Шаг 1: Перепишем уравнение в виде, более удобном для решения:
\[cos(2x) - \sqrt{2}cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1 = 0\]

Шаг 2: Воспользуемся формулами тригонометрии для упрощения выражения. Используем формулу разности для косинуса:
\[cosAcosB = sinAsinB - cosAsinB\]
Применим эту формулу ко второму члену:
\[\sqrt{2}cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \sqrt{2}\left(sin\frac{\pi}{2}sinx - cos\frac{\pi}{2}sinx\right) = \sqrt{2}(1\cdot sinx - 0\cdot sinx) = \sqrt{2}sinx\]

Теперь подставим это обратно в уравнение:
\[cos(2x) - \sqrt{2}sinx+1 = 0\]

Шаг 3: Используем формулу двойного угла для косинуса:
\[cos2x = 2cos^2x - 1\]
Подставляем это обратно в уравнение:
\[2cos^2x - 1 - \sqrt{2}sinx+1 = 0\]

Шаг 4: Упростим уравнение:
\[2cos^2x - \sqrt{2}sinx = 0\]

Шаг 5: Разделим уравнение на \(cosx\):
\[2cosx - \sqrt{2}tanx = 0\]

Шаг 6: Заменим \(tanx\) на \(\frac{sinx}{cosx}\):
\[2cosx - \sqrt{2}\cdot \frac{sinx}{cosx} = 0\]

Шаг 7: Умножим уравнение на \(cosx\):
\[2cos^2x - \sqrt{2}sinx= 0\]

Шаг 8: Снова используем формулу двойного угла для косинуса:
\[2(1-sin^2x) - \sqrt{2}sinx = 0\]

Шаг 9: Раскрытие скобок:
\[2 - 2sin^2x - \sqrt{2}sinx = 0\]

Шаг 10: Перегруппируем члены:
\[-2sin^2x - \sqrt{2}sinx + 2 = 0\]

Шаг 11: Посмотрим на получившееся квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где
\(a = -2\),
\(b = -\sqrt{2}\),
\(c = 2\).

Используем квадратное уравнение с формулой дискриминанта:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Шаг 12: Подставим в формулу значения \(a\), \(b\), \(c\):
\[x = \frac{-(-\sqrt{2}) \pm \sqrt{(-\sqrt{2})^2 - 4(-2)(2)}}{2\cdot (-2)}\]

Шаг 13: Выполним вычисления:
\[x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 32}}{-4}\]
\[x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{34}}{-4}\]

Шаг 14: Итак, получили два возможных значения \(x\):
\[x_1 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{34}}{-4}\]
\[x_2 = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{34}}{-4}\]

Шаг 15: Нам нужно определить, принадлежат ли эти значения заданному интервалу (-5π ; -7π/2). Для этого преобразуем интервал в десятичные значения:

-5π ≈ -15.7
-7π/2 ≈ -10.99

Проверим, принадлежит ли первое значение \(x_1\) интервалу:
\(-15.7 < \frac{\sqrt{2} + \sqrt{34}}{-4} < -10.99\)

Проверим, принадлежит ли второе значение \(x_2\) интервалу:
\(-15.7 < \frac{\sqrt{2} - \sqrt{34}}{-4} < -10.99\)

Шаг 16: Подставим числовые значения и проверим неравенства:

\[-15.7 < -1.28 < -10.99\]
\[-15.7 < 1.28 < -10.99\]

Поскольку оба неравенства не выполняются, значение \(x_1\) и \(x_2\) не принадлежат заданному интервалу.

Таким образом, у данного уравнения нет решений в заданном интервале (-5π ; -7π/2).