Какие значения x удовлетворяют уравнению cos2x-√2 cos (π/2+x)+1=0, если x принадлежит отрезку (-5π ; -7π/2)?

Никита

9

Чтобы решить данное уравнение и найти значения $x$, которые удовлетворяют ему, мы последовательно проделаем следующие шаги:

Шаг 1: Перепишем уравнение в виде, более удобном для решения:
$$cos(2x)-\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{2}+x)+1=0$$

Шаг 2: Воспользуемся формулами тригонометрии для упрощения выражения. Используем формулу разности для косинуса:
$$cosAcosB=sinAsinB-cosAsinB$$
Применим эту формулу ко второму члену:
$$\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{2}+x)=\sqrt{2}(sin\frac{\pi }{2}sinx-cos\frac{\pi }{2}sinx)=\sqrt{2}(1\cdot sinx-0\cdot sinx)=\sqrt{2}sinx$$

Теперь подставим это обратно в уравнение:
$$cos(2x)-\sqrt{2}sinx+1=0$$

Шаг 3: Используем формулу двойного угла для косинуса:
$$cos2x=2co{s}^{2}x-1$$
Подставляем это обратно в уравнение:
$$2co{s}^{2}x-1-\sqrt{2}sinx+1=0$$

Шаг 4: Упростим уравнение:
$$2co{s}^{2}x-\sqrt{2}sinx=0$$

Шаг 5: Разделим уравнение на $cosx$:
$$2cosx-\sqrt{2}tanx=0$$

Шаг 6: Заменим $tanx$ на $\frac{sinx}{cosx}$:
$$2cosx-\sqrt{2}\cdot \frac{sinx}{cosx}=0$$

Шаг 7: Умножим уравнение на $cosx$:
$$2co{s}^{2}x-\sqrt{2}sinx=0$$

Шаг 8: Снова используем формулу двойного угла для косинуса:
$$2(1-si{n}^{2}x)-\sqrt{2}sinx=0$$

Шаг 9: Раскрытие скобок:
$$2-2si{n}^{2}x-\sqrt{2}sinx=0$$

Шаг 10: Перегруппируем члены:
$$-2si{n}^{2}x-\sqrt{2}sinx+2=0$$

Шаг 11: Посмотрим на получившееся квадратное уравнение вида $a{x}^2+bx+c=0$, где
$a=-2$,
$b=-\sqrt{2}$,
$c=2$.

Используем квадратное уравнение с формулой дискриминанта:
$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Шаг 12: Подставим в формулу значения $a$, $b$, $c$:
$$x=\frac{-(-\sqrt{2})\pm \sqrt{(-\sqrt{2}{)}^2-4(-2)(2)}}{2\cdot (-2)}$$

Шаг 13: Выполним вычисления:
$$x=\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{2+32}}{-4}$$
$$x=\frac{\sqrt{2}\pm \sqrt{34}}{-4}$$

Шаг 14: Итак, получили два возможных значения $x$:
$$x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{-4}$$
$$x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{34}}{-4}$$

Шаг 15: Нам нужно определить, принадлежат ли эти значения заданному интервалу (-5π ; -7π/2). Для этого преобразуем интервал в десятичные значения:

-5π ≈ -15.7
-7π/2 ≈ -10.99

Проверим, принадлежит ли первое значение $x_1$ интервалу:
$-15.7<\frac{\sqrt{2}+\sqrt{34}}{-4}<-10.99$

Проверим, принадлежит ли второе значение $x_2$ интервалу:
$-15.7<\frac{\sqrt{2}-\sqrt{34}}{-4}<-10.99$

Шаг 16: Подставим числовые значения и проверим неравенства:

$$-15.7<-1.28<-10.99$$
$$-15.7<1.28<-10.99$$

Поскольку оба неравенства не выполняются, значение $x_1$ и $x_2$ не принадлежат заданному интервалу.

Таким образом, у данного уравнения нет решений в заданном интервале (-5π ; -7π/2).