Create a graph of the function y=(x-3)²-2. Determine the intervals where the function is increasing and decreasing

Sverkayuschiy_Pegas

61

Для решения этой задачи мы начнем с того, чтобы построить график функции \( y = (x-3)^2 - 2 \).

1. Построение графика функции:

Функция \( y = (x-3)^2 - 2 \) представляет собой параболу, центр которой находится в точке (3, -2), так как у нас сдвиг по оси x на 3 единицы вправо и сдвиг по оси y на 2 единицы вниз. Квадратное выражение гарантирует, что график функции является параболой с вершиной в точке (3, -2).

2. Определение интервалов возрастания и убывания функции:

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы анализируем производную функции. Сначала найдем производную \( y" \) функции \( y = (x-3)^2 - 2 \):

\[ y = (x-3)^2 - 2 \]
\[ y" = 2(x-3) \]

Теперь нам нужно найти точки, где производная равна нулю или не определена. Решим уравнение:

\[ 2(x-3) = 0 \]
\[ x-3 = 0 \]
\[ x = 3 \]

Таким образом, производная равна нулю в точке x = 3. Теперь мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции, рассмотрев поведение производной вокруг точки х = 3.

- Если \( x < 3 \), то \( y" < 0 \), что означает, что функция убывает на этом интервале.
- Если \( x > 3 \), то \( y" > 0 \), что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, интервал убывания функции - \( (-\infty, 3) \), а интервал возрастания функции - \( (3, +\infty) \).

3. Вывод:

График функции \( y = (x-3)^2 - 2 \) представляет собой параболу с вершиной в точке (3, -2). Функция убывает на интервале (-∞, 3) и возрастает на интервале (3, +∞).