Дөңгелектің радиусы 8 см болып, айналдырутайтын бұрыштық жылдамдық 1,57 радиан/с болып табылады. Дөңгелектің шетіндегі

Mihaylovna

69

Дөңгелектің радиусы 8 см болса да, айналдырутайтын бұрыштық жылдамдық 1,57 радиан/с болуы маңызды болатын параметрлерге қарай қозғалу басталуынан кейінгі 2 секундтан соң (аталмалуы үшін \(t = 2\) секунд) жауаптарды табу керек:

(a) Сызықтық жылдамдық: Дөңгелекке арналған сызықтық жылдамдық формула:

\[v = ω \cdot r\]

бойынша, дөңгелекке арналған сызықтық жылдамдығымызды таба аламыз:

\[v = 1,57 \, радиан/с \cdot 8 \, см = 12,56 \, см/с\]

Сызықтық жылдамдық \(12,56 \, см/с\) болады.

(b) Жанама үдеуі: Дөңгелек аясынан өту кезінде нүктелері дөңгелек шетіне тән біліктеген секілде жанамаланғанына сәйкес, жанама үдеуін табу үшін формуланны пайдаланамыз:

\[a = ω^2 \cdot r\]

бойынша, дөңгелектің жанама үдеуін таба аламыз:

\[a = (1,57 \, радиан/с)^2 \cdot 8 \, см = 19,72 \, см/с^2\]

Жанама үдеуі \(19,72 \, см/с^2\) болады.

(c) Нормаль үдеуі: Дөңгелек аясы бойынша нормаль үдеуі ғана бүтін сан болуы керек. Нормаль үдеуін табу үшін дөңгелектің шеті жататын қатарынан нүктелердің жылдамдық көрсеткіштерін анықтаймыз:

\[a_n = ω^2 \cdot r - g\]

Ендеше, мұның ішінде g (жергілікті күштің тілеккенсігі, g ≈ 9,8 м/с²) - теріс күшпен тең болуы маңызды.

\[a_n = (1,57 \, радиан/с)^2 \cdot 8 \, см - 9,8 \, м/с^2\]

Данные должны соотноситься по единицам измерения: сантиметры должны быть преобразованы в метры.

\[8 \, см = 0,08 \, м\]

\[a_n = (1,57 \, радиан/с)^2 \cdot 0,08 \, м - 9,8 \, м/с^2\]

\[a_n ≈ -9,786 \, м/с^2\]

Нормальное ускорение \(a_n \approx -9,786 \, м/с^2\).

(d) Толық үдеу: Дөңгелекке арналған толық үдеуін табу үшін атыңды былай формуланатын векторлерді қарастыру керек:

\[a = a_n \cdot \mathbf{n} + a_t \cdot \mathbf{t}\]

\noindent Кейбір формула екібаста формулаларға бөліп айналдырылады:

\[a_n = \frac{d^2r}{dt^2} \cdot \mathbf{n}\]

\noindent және

\[a_t = \frac{d^2r}{dt^2} \cdot \mathbf{t}\]

математикалық шығарымда естіледі, әрекеттің заманына депенден формула бойынша рөл алуы мүмкін.

Толық үдеуді табу үшін, шапамен дөңгелек пайда болады (р), пайда болатын секілде (н) және төменде белгіленген бетте пайда болатын секілде (т):

\[a_t = \frac{d^2r}{dt^2} \cdot \mathbf{t}\]

Біз дөңгелектің пайда болатын өзгеруінді табу үшін, дөңгелектің мүмкіндіктерін қарастырамыз:

\[\begin{align*}
\frac{dr}{dt} &= v = 1,57 \, радиан/с \cdot 8 \, см \\
\frac{d^2r}{dt^2} &= \frac{dv}{dt} = \frac{1}{r} \cdot \frac{dr}{dt} \cdot \frac{dv}{dr} = \frac{1}{8 \, см} \cdot 1,57 \, радиан/с \cdot \frac{dv}{dr}
\end{align*}\]

Где:

\[\frac{dv}{dr} = a_r\]

Значение \(a_r\) можно найти, если постоянная \(a\) дана. Известно, что

\[\begin{align*}
v &= a_r \cdot r \\
1,57 \, радиан/с \cdot 8 \, см &= a_r \cdot 8 \, см \\
a_r &= 1,57 \, радиан/с
\end{align*}\]

Теперь мы можем использовать это значение, чтобы вычислить вторую производную:

\[\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{1}{8 \, см} \cdot 1,57 \, радиан/с \cdot 1,57 \, радиан/с\]

\[a_t = \frac{d^2r}{dt^2} \cdot \mathbf{t}\]

Таким образом, полное ускорение равно:

\[a = a_n \cdot \mathbf{n} + a_t \cdot \mathbf{t}\]

Найденные значения ускорений для данной ситуации подставим в формулу:

\[a = -9,786 \, м/с^2 \cdot \mathbf{n} + \left(\frac{1}{8 \, см} \cdot 1,57 \, радиан/с \cdot 1,57 \, радиан/с\right) \cdot \mathbf{t}\]

Таким образом, полное ускорение определяется формулой:

\[a ≈ -9,786 \, м/с^2 \cdot \mathbf{n} + 3,85825 \, радиан^2/с^2 \cdot \mathbf{t}\]