Дано: -ерямоугольный паллелепипед, с1к: kb1 = 3: 2. Общий периметр сечения паллелепипеда площадью dck равен 50. Найти

Vechnyy_Son

6

Для решения данной задачи нам необходимо выразить стороны паллелепипеда через неизвестное значение и потом использовать полученные выражения для нахождения боковой поверхности.

Итак, пусть \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон паллелепипеда. Учитывая, что \(c_1:k\) равно \(3:2\), мы можем выразить \(c_1\) через \(k\):

\[c_1 = \frac{3}{2}k.\]

Также нам известно, что общий периметр сечения паллелепипеда, имеющего площадь \(dck\), равен 50. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон, поэтому:

\[2(c_1+b_1) + 2(b_1+c_1) + 2(c_1+c_1) = 50.\]

Подставим в это уравнение выражение для \(c_1\):

\[2\left(\frac{3}{2}k+b_1\right) + 2\left(b_1+\frac{3}{2}k\right) + 2\left(\frac{3}{2}k+\frac{3}{2}k\right) = 50.\]

Упростим это уравнение:

\[3k + 3b_1 + 3k + 3b_1 + 9k = 50.\]

Сгруппируем по переменным:

\[15k + 6b_1 = 50.\]

Мы получили уравнение, которое позволяет нам найти связь между \(k\) и \(b_1\). Теперь нам необходимо выразить одну переменную через другую, чтобы использовать это в дальнейшем.

Для этого выразим \(k\) через \(b_1\). Разделим уравнение на 3:

\[5k + 2b_1 = \frac{50}{3}.\]

Выразим \(k\):

\[5k = \frac{50}{3} - 2b_1.\]

\[k = \frac{\frac{50}{3} - 2b_1}{5}.\]

Теперь у нас есть выражение для \(k\) через \(b_1\), которое мы можем использовать для нахождения площади боковой поверхности паллелепипеда.

Площадь боковой поверхности паллелепипеда можно найти по формуле:

\[S_{бок} = 2(ab+bc+ac).\]

Подставим значения сторон прямоугольника:

\[S_{бок} = 2\left(\frac{3}{2}kb_1 + b_1c_1 + \frac{3}{2}k\cdot c_1\right).\]

Теперь подставим выражение для \(k\) через \(b_1\):

\[S_{бок} = 2\left(\frac{3}{2}b_1\cdot\frac{\frac{50}{3} - 2b_1}{5} + b_1\cdot\frac{3}{2}b_1 + \frac{3}{2}\cdot\frac{\frac{50}{3}-2b_1}{5}\cdot\frac{3}{2}b_1\right).\]

Упростим это выражение:

\[S_{бок} = 2\left(\frac{9b_1}{10}\left(\frac{50}{3} - 2b_1\right) + \frac{3b_1^2}{2} + \frac{27b_1}{20}\left(\frac{50}{3}-2b_1\right)\right).\]

\[S_{бок} = 2\left(\frac{9b_1}{10}\cdot\frac{50}{3} - \frac{9b_1^2}{5} + \frac{3b_1^2}{2} + \frac{27b_1}{20}\cdot\frac{50}{3}-\frac{27b_1^2}{10}\right).\]

\[S_{бок} = \frac{6b_1}{5}\cdot\frac{50}{3} - \frac{18b_1^2}{10} + \frac{9b_1^2}{2} + \frac{81b_1}{20}\cdot\frac{50}{3}-\frac{27b_1^2}{5}.\]

Теперь нам нужно привести это выражение к более простому виду:

\[S_{бок} = \frac{100b_1}{5} - \frac{36b_1^2}{10} + \frac{45b_1^2}{2} + \frac{1350b_1}{60}-\frac{54b_1^2}{5}.\]

\[S_{бок} = 20b_1 - \frac{36b_1^2}{10} + \frac{45b_1^2}{2} + \frac{1350b_1}{60}-\frac{54b_1^2}{5}.\]

\[S_{бок} = 20b_1 - \frac{18b_1^2}{5} + \frac{45b_1^2}{2} + 22.5b_1-\frac{10.8b_1^2}{5}.\]

\[S_{бок} = 20b_1 + 22.5b_1 + \frac{45b_1^2}{2} - \frac{18b_1^2}{5} - \frac{10.8b_1^2}{5}.\]

\[S_{бок} = 42.5b_1 + \frac{16.2b_1^2}{10} + \frac{64.2b_1^2}{10}.\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности паллелепипеда, мы можем подставить значение \(b_1\) и произвести необходимые вычисления.

Надеюсь, что этот шаг за шагом разбор помог вам разобраться в решении задачи.