Какова площадь закрашенной области, изображенной на рисунке, если сектор круга с центром в точке О имеет радиус

Оксана

36

Для решения этой задачи, нам понадобится найти площадь сектора круга и вычесть из нее площадь треугольника.

1. Вычислим площадь сектора круга.
Формула для вычисления площади сектора круга: \(S = \frac{{\theta}}{{360^\circ}} \cdot \pi r^2\)
Где \(S\) - площадь сектора, \(\theta\) - центральный угол сектора, \(r\) - радиус круга.

Подставим известные значения:
\(\theta = 60^\circ\) (угол \(\angle МОН\))
\(r = 18 \, \text{см}\) (радиус сектора круга)

Таким образом, площадь сектора круга:
\[S = \frac{{60^\circ}}{{360^\circ}} \cdot \pi \cdot (18 \, \text{см})^2 = \frac{{1}}{{6}} \cdot 3.14 \cdot 324 = 169.56 \, \text{см}^2\]

2. Теперь, нам нужно вычислить площадь треугольника.
Формулу для вычисления площади треугольника можно использовать в случае зная длины двух сторон и угол между ними. В нашем случае, у нас известны стороны треугольника \(ОМ = 8 \, \text{см}\) и \(ОН = 8 \, \text{см}\), а угол \(\angle МОН\) равен \(60^\circ\).

Формула для вычисления площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta)\)
Где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины двух сторон треугольника, \(\theta\) - угол между этими сторонами.

Подставим известные значения:
\(a = 8 \, \text{см}\), \(b = 8 \, \text{см}\), \(\theta = 60^\circ\)

Таким образом, площадь треугольника:
\(S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2\)

3. Найдем площадь закрашенной области, вычитая площадь треугольника из площади сектора круга:
Площадь закрашенной области: \(S_{\text{закр}} = S_{\text{сектор}} - S_{\text{треугольник}} = 169.56 \, \text{см}^2 - 16\sqrt{3} \, \text{см}^2\)

Ответ:
Площадь закрашенной области, изображенной на рисунке, равна \(169.56 \, \text{см}^2 - 16\sqrt{3} \, \text{см}^2\) или примерно \(169.56 - 27.71 \, \text{см}^2 = 141.85 \, \text{см}^2\)