Даны два ограниченных набора элементов: А={a,b,c}, B={1,2,3,4}; двоичные отношения P1  AB, P2  B 2 . Иллюстрировать

Лось_1837

69

Для начала поясним определения и понятия, которые встречаются в условии задачи:

1. Набор элементов - это коллекция или группа определенных объектов, которые могут быть отдельными элементами или множествами.

2. Ограниченный набор элементов - это набор, в котором уже указаны все возможные элементы, и нет других элементов, кроме тех, которые указаны.

3. Двоичные отношения - это отношения между двумя множествами, где каждой паре элементов из этих множеств присваивается определенное отношение.

4. Область определения отношения - это множество всех элементов, для которых определено отношение в данном отношении.

5. Область значений отношения - это множество всех элементов, к которым в отношении относятся другие элементы.

6. Матрица отношения - это таблица, в которой строки соответствуют элементам первого множества, столбцы - элементам второго множества, а каждая ячейка содержит информацию о наличии или отсутствии отношений между данными элементами.

Теперь перейдем непосредственно к решению задачи.

Даны два ограниченных набора элементов: A={a,b,c}, B={1,2,3,4}. Первое отношение P1 иллюстрируется следующей матрицей:

\[
[P1] =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]

Где 1 обозначает наличие отношения между элементами, а 0 - отсутствие отношения.

Второе отношение P2 иллюстрируется следующей матрицей:

\[
[P2] =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]

Таким образом, матрица [P2] отображает отношения между элементами B.

Теперь найдем отношение P = (P2◦P1) –1. Для этого выполним следующие действия:

1. Умножим матрицы [P2] и [P1]:

\[
[P2◦P1] =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]

2. Транспонируем полученную матрицу:

\[
[P2◦P1]^{T} =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]

3. Найдем обратное матрицы [P2◦P1]^{T}:

\[
[P2◦P1]^{-1} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]

Теперь определим области определения и области значений каждого из трех отношений: P1, P2 и P.

Для отношения P1:
Область определения: A (т.е. {a, b, c})
Область значений: B (т.е. {1, 2, 3, 4})

Для отношения P2:
Область определения: B (т.е. {1, 2, 3, 4})
Область значений: B (т.е. {1, 2, 3, 4})

Для отношения P:
Область определения: A (т.е. {a, b, c})
Область значений: B (т.е. {1, 2, 3, 4})

Наконец, рассмотрим свойства отношения P2.

Отношение P2 в данном случае не является рефлексивным, так как на диагонали матрицы есть нули.

Отношение P2 симметрично, так как если пара элементов (a, b) находится в P2, то пара (b, a) также находится в P2.

Отношение P2 не является антисимметричным, так как если пара элементов (a, b) и пара (b, a) находятся в P2, и при этом a != b, то отношение не выполняется.

Отношение P2 является транзитивным, так как если пара элементов (a, b) и пара (b, c) находятся в P2, то и пара (a, c) также находится в P2.

Таким образом, мы решили задачу по построению иллюстраций для P1, P2 в визуальной форме, нахождению P = (P2◦P1) –1, а также задали области определения и области значений для трех отношений: P1, P2 и P. Также мы провели анализ свойств отношения P2.