Давайте рассмотрим тетраэдр ABCD. Предположим, что M, N, P и Q - это середины ребер AB, BC, CD и DA соответственно

Анжела_7356

28

Рассмотрим тетраэдр ABCD. По условию, точки M, N, P и Q являются серединами рёбер AB, BC, CD и DA соответственно. Обозначим отрезки следующим образом: MA = MB, NB = NC, PC = PD и QD = QA.

Для доказательства того, что линия AR является перпендикулярной плоскости MNPQ, нам понадобится использовать два факта.

Факт 1:
Линия, соединяющая середины двух рёбер треугольника и проходящая через середину третьего ребра, является параллельной ребру, соединяющему две вершины треугольника и проходящему через середину третьего ребра.

Теперь применим этот факт к нашим отрезкам. Имеем: линия, соединяющая середину ребра MQ и середину ребра NP (то есть линия AR), является параллельной ребру DP (DQ), проходящему через середину ребра NP (то есть точку R).

Факт 2:
Если в треугольнике две линии параллельны, расположенные на одной плоскости, то третья линия, проходящая через одно из рёбер параллельных линий и пересекающая другое ребро, является перпендикулярной к этой плоскости.

Применим этот факт к нашей ситуации. Так как линия AR параллельна ребру DP (DQ) и проходит через ребро MQ, мы можем заключить, что линия AR является перпендикулярной к плоскости, в которой лежат отрезки MQ и NP (то есть плоскости MNPQ).

Таким образом, мы доказали, что линия AR является перпендикулярной плоскости MNPQ.