Дайте определение амплитуды вынужденных колебаний груза массой 0,2 кг, подвешенного на пружине с жесткостью

Solnechnaya_Raduga

53

Амплитуда вынужденных колебаний груза, подвешенного на пружине, может быть определена с использованием формулы:

\[A = \frac{F_0}{m \sqrt{{(\omega_0^2 - \omega^2)}^2 + (2 \xi \omega)^2}}\]

Где:
\(A\) - амплитуда колебаний,
\(F_0\) - амплитуда возмущающей силы,
\(m\) - масса груза,
\(\omega_0\) - собственная частота свободных колебаний груза,
\(\omega\) - частота возмущающей силы,
\(\xi\) - коэффициент затухания.

Для того, чтобы найти амплитуду вынужденных колебаний, нам необходимо рассчитать значения всех этих величин и подставить их в формулу.

Для начала посчитаем собственную частоту колебаний груза. Для пружины с жесткостью \(k\) и массой груза \(m\) она вычисляется по формуле:

\[\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

Подставляя значения из условия, получаем:

\[\omega_0 = \sqrt{\frac{20 \, Н/м}{0.2 \, кг}} = \sqrt{100 \, рад/с^2} = 10 \, рад/с\]

Далее, из условия задачи известно, что частота возмущающей силы, равна вдвое больше собственной частоты колебаний груза, то есть:

\(\omega = 2 \cdot \omega_0 = 2 \cdot 10 \, рад/с = 20 \, рад/с\)

Также, по условию задачи, амплитуда возмущающей силы составляет 2 Н. Теперь мы можем рассчитать амплитуду вынужденных колебаний, подставив все полученные значения в формулу:

\[A = \frac{2 \, Н}{0.2 \, кг \cdot \sqrt{{(10 \, рад/с)^2 - (20 \, рад/с)^2)}^2 + (2 \cdot 0.5 \, с \cdot 20 \, рад/с)^2}}\]

Выполняя численные вычисления, получим:

\[A = \frac{2 \, Н}{1 \, кг \cdot \sqrt{{(100 \, рад/с)^2 - (20 \, рад/с)^2)}^2 + (20 \, рад/с)^2}} \approx 0.357 \, м\]

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний груза составляет примерно 0.357 метра.