Де можна знайти проміжки, коли функція f(x)=x⁴+4x-20 зростає і спадає? Де можна знайти проміжки, коли функція

Мурлыка

6

Для решения этой задачи нам нужно найти промежутки, на которых функция \( f(x) = x^4 + 4x - 20 \) возрастает и убывает, а также промежутки, на которых функция \( f(x) = 8 - 4x - x^3 \) возрастает и убывает.

Чтобы найти эти промежутки, нам потребуется проанализировать поведение этих функций и изучить их производные.

Давайте начнем с первой функции \( f(x) = x^4 + 4x - 20 \).

1. Найдем производную функции \( f(x) \) по переменной \( x \):
\( f"(x) = 4x^3 + 4 \).

2. Чтобы узнать, когда функция возрастает или убывает, мы должны проанализировать знак производной \( f"(x) \).

- Если \( f"(x) > 0 \), то функция возрастает.
- Если \( f"(x) < 0 \), то функция убывает.

3. Найдем точки, где \( f"(x) = 0 \):
\( 4x^3 + 4 = 0 \).
Решив это уравнение, мы получим:
\( x^3 = -1 \).
Так как нам нужно только найти промежутки, а не конкретные значения, мы можем проанализировать, что значение куба числа не может быть отрицательным. Следовательно, нет точек, где производная равна нулю.

4. Теперь мы можем составить таблицу знаков производной \( f"(x) \), чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) \).

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f"(x) \\
\hline
x < 0 & + \\
\hline
x = 0 & + \\
\hline
x > 0 & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что производная \( f"(x) \) всегда положительна, то есть функция \( f(x) \) возрастает на всей числовой прямой.

5. Теперь перейдем ко второй функции \( f(x) = 8 - 4x - x^3 \).

6. Найдем производную функции \( f(x) \) по переменной \( x \):
\( f"(x) = -3x^2 - 4 \).

7. Чтобы узнать, когда функция возрастает или убывает, мы должны проанализировать знак производной \( f"(x) \).

- Если \( f"(x) > 0 \), то функция возрастает.
- Если \( f"(x) < 0 \), то функция убывает.

8. Найдем точки, где \( f"(x) = 0 \):
\( -3x^2 - 4 = 0 \).
Решив это уравнение, мы получим:
\( x^2 = -\frac{4}{3} \).
Как и в предыдущем случае, мы видим, что значение квадрата числа не может быть отрицательным. Следовательно, нет точек, где производная равна нулю.

9. Составим таблицу знаков производной \( f"(x) \), чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) \).

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f"(x) \\
\hline
x < 0 & - \\
\hline
x = 0 & - \\
\hline
x > 0 & - \\
\hline
\end{array}
\]

В таблице видно, что производная \( f"(x) \) всегда отрицательна, то есть функция \( f(x) \) убывает на всей числовой прямой.

Итак, мы нашли ответ на задачу:

Для функции \( f(x) = x^4 + 4x - 20 \):

- Функция возрастает на всей числовой прямой.
- Функция не убывает ни на одном промежутке.

Для функции \( f(x) = 8 - 4x - x^3 \):

- Функция убывает на всей числовой прямой.
- Функция не возрастает ни на одном промежутке.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам разобраться в задаче!