Найдите обратную функцию для заданной функции f(x) и нарисуйте их графики на одной координатной плоскости: 1) y=3x-7

Хорёк

12

Решение:

1) Для нахождения обратной функции для функции \(f(x) = 3x - 7\) мы должны поменять местами переменные \(x\) и \(y\) и решить уравнение относительно \(y\).

Поменяв местами \(x\) и \(y\), получим: \(x = 3y - 7\).

Теперь решим уравнение относительно \(y\):

\[x + 7 = 3y\]
\[y = \frac{{x + 7}}{3}\]

Таким образом, обратная функция для \(f(x) = 3x - 7\) будет \(f^{-1}(x) = \frac{{x + 7}}{3}\).

На координатной плоскости графики функции и её обратной функции будут выглядеть следующим образом:

\[
\begin{align*}
\text{Красный: } y &= 3x - 7 \\
\text{Синий: } y &= \frac{{x + 7}}{3}
\end{align*}
\]

2) Для функции \(f(x) = 2 - 3x\) аналогично поменяем местами переменные \(x\) и \(y\) и решим уравнение относительно \(y\):

\[x = 2 - 3y\]

Теперь решим уравнение относительно \(y\):

\[3y = 2 - x\]
\[y = \frac{{2 - x}}{3}\]

Обратная функция для данной функции будет \(f^{-1}(x) = \frac{{2 - x}}{3}\).

Графики функции и её обратной функции на координатной плоскости будут иметь следующий вид:

\[
\begin{align*}
\text{Красный: } y &= 2 - 3x \\
\text{Синий: } y &= \frac{{2 - x}}{3}
\end{align*}
\]

3) Для функции \(f(x) = 2x + 1\) снова поменяем местами переменные и решим уравнение относительно \(y\):

\[x = 2y + 1\]

Решим уравнение относительно \(y\):

\[2y = x - 1\]
\[y = \frac{{x - 1}}{2}\]

Обратная функция для функции \(f(x) = 2x + 1\) будет \(f^{-1}(x) = \frac{{x - 1}}{2}\).

На координатной плоскости графики функции и её обратной функции будут выглядеть так:

\[
\begin{align*}
\text{Красный: } y &= 2x + 1 \\
\text{Синий: } y &= \frac{{x - 1}}{2}
\end{align*}
\]

4) Для функции \(f(x) = 3 - 2x\) поменяем местами переменные и решим уравнение относительно \(y\):

\[x = 3 - 2y\]

Решим уравнение относительно \(y\):

\[2y = 3 - x\]
\[y = \frac{{3 - x}}{2}\]

Обратная функция для данной функции будет \(f^{-1}(x) = \frac{{3 - x}}{2}\).

Графики функции и её обратной функции на координатной плоскости будут иметь следующий вид:

\[
\begin{align*}
\text{Красный: } y &= 3 - 2x \\
\text{Синий: } y &= \frac{{3 - x}}{2}
\end{align*}
\]

Надеюсь, эти объяснения и решения помогут вам лучше понять обратные функции и их графики. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их!