Де від гармати впав третій осколок, якщо снаряд розірвався у верхній точці траєкторії на дві рівні частини, і перший

Кузнец

36

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые знания о движении тел под действием гравитационной силы.

Сначала определим время полета первого осколка. Так как оба осколка возвратились на землю одновременно, то время полета обоих осколков одинаково. Зная, что время полета тела, брошенного вертикально вверх, до момента его падения равно удвоенному времени подъема, можем заключить, что время полета каждого из осколков составляет половину общего времени полета обоих осколков.

Теперь рассмотрим движение первого осколка по параболической траектории. Первый осколок продолжил движение по параболе и упал на расстоянии 1 км от гарматы. Поскольку траектория движения представляет собой параболу, то можно сделать вывод, что горизонтальная составляющая скорости осколка не изменяется по ходу движения. Следовательно, горизонтальное перемещение осколка равно горизонтальной составляющей скорости умноженной на время полета. Так как горизонтальная составляющая скорости остается постоянной на всей траектории, а время полета равно половине общего времени полета обоих осколков, можем записать уравнение для горизонтального перемещения первого осколка:

\[X_1 = V_{1x} \cdot t\]

где \(X_1\) - горизонтальное перемещение первого осколка, \(V_{1x}\) - горизонтальная составляющая скорости первого осколка, \(t\) - время полета первого осколка.

Учитывая, что горизонтальная составляющая скорости равна постоянной и не меняется в процессе движения, а время полета равно половине общего времени полета обоих осколков, можем записать:

\[X_1 = V_{1x} \cdot \frac{T}{2}\]

где \(T\) - общее время полета обоих осколков.

Теперь рассмотрим движение второго осколка, который движется вертикально вниз. Поскольку он упал одновременно с первым осколком, можем сделать вывод, что время полета второго осколка равно времени полета первого осколка, то есть \(t\).

Тогда по аналогии с первым осколком можем записать уравнение для вертикального перемещения второго осколка:

\[X_2 = V_{2y} \cdot t\]

где \(X_2\) - вертикальное перемещение второго осколка, \(V_{2y}\) - вертикальная составляющая скорости второго осколка, \(t\) - время полета второго осколка.

Учитывая, что второй осколок движется вертикально вниз, то его вертикальная составляющая скорости отрицательна, а время полета равно времени полета первого осколка, можем записать:

\[X_2 = -V_{2y} \cdot t\]

Объединив оба уравнения, получим:

\[X_1 = -X_2\]

\[V_{1x} \cdot \frac{T}{2} = -V_{2y} \cdot t\]

Нам нужна связь между горизонтальной и вертикальной составляющими скорости, чтобы продолжить решение этой задачи. Рассмотрим движение осколков в момент взрыва снаряда.

Вертикальная составляющая скорости осколков является результатом разложения начальной скорости осколков после взрыва по координатным осям. По условию, снаряд разорвался на две равные части, поэтому начальная скорость каждого осколка одинакова и равна скорости снаряда до взрыва.

Горизонтальная составляющая скорости не изменяется после взрыва, поэтому горизонтальная составляющая скорости осколков также равна горизонтальной составляющей скорости снаряда до взрыва.

Таким образом, горизонтальная составляющая скорости первого осколка (\(V_{1x}\)) равна горизонтальной составляющей скорости снаряда, а вертикальная составляющая скорости первого осколка (\(V_{1y}\)) равна половине вертикальной составляющей скорости снаряда до взрыва.

Если мы обозначим скорость снаряда до взрыва как \(V_0\), то можем записать:

\[V_{1x} = V_0 \cdot \cos(\theta)\]

\[V_{1y} = \frac{1}{2} \cdot V_0 \cdot \sin(\theta)\]

где \(\theta\) - угол между направлением горизонтальной оси и направлением полета снаряда.

Теперь у нас есть все необходимые величины, чтобы решить задачу. Подставим выражения для горизонтальной составляющей скорости первого осколка (\(V_{1x}\)), вертикальной составляющей скорости первого осколка (\(V_{1y}\)), вертикальной составляющей скорости второго осколка (\(V_{2y}\)) и время полета первого осколка (\(t\)) в полученное уравнение:

\[V_0 \cdot \cos(\theta) \cdot \frac{T}{2} = -\frac{1}{2} \cdot V_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t\]

Сокращаем на \(V_0\) и переставляем члены уравнения:

\[\cos(\theta) \cdot \frac{T}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \sin(\theta) \cdot t\]

Теперь выполняем допущение, что гравитационное ускорение равно \(-9,8 \, \text{м/c}^2\) (для удобства расчетов размерность ускорения принимается только в метрах и cекундах). Тогда вертикальная составляющая скорости первого осколка в момент взрыва будет равна:

\[V_{1y} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t\]

Заменяем \(V_{1y}\) в уравнении:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot t = \frac{T}{2} \cdot \sin(\theta) \cdot t\]

Приравниваем времена полета осколков, так как они совпадают:

\[t = \frac{T}{2}\]

Подставляем это равенство в уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{T}{2} = \frac{T}{2} \cdot \sin(\theta) \cdot \frac{T}{2}\]

Упрощаем уравнение:

\[\frac{1}{2} \cdot a = \frac{T}{2} \cdot \sin(\theta)\]

Теперь нам нужно воспользоваться информацией о разделении на две равные части. Расстояние, которое пролетает первый осколок по горизонтали, равно расстоянию, которое пролетает второй осколок по горизонтали:

\(X_1 = X_2\)

Подставляем выражения для горизонтального перемещения осколков в это уравнение:

\(V_{1x} \cdot t = V_{2y} \cdot t\)

Подставляем соответствующие выражения вместо \(V_{1x}\), \(V_{2y}\) и \(t\):

\(V_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t = -V_0 \cdot \sin(\theta) \cdot t\)

Упрощаем и сокращаем на \(V_0\) и \(t\):

\(\cos(\theta) = -\sin(\theta)\)

Теперь используем тригонометрическое тождество:

\(\cos(\theta) = \sin(\theta - \frac{\pi}{2})\)

Так как \(-\frac{\pi}{4} \) не равно \(\theta - \frac{\pi}{2}\), а углы \(\cos(\theta)\) и \(\sin(\theta)\) равны друг другу, должно выполняться равенство:

\(\theta - \frac{\pi}{2} = \theta + \frac{\pi}{2}\)

Получаем уравнение:

\(-\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\)

Такое уравнение не имеет решений, значит, начальные данные задачи противоречивы.

В итоге, невозможно точно определить, где упал третий осколок.