Для каких натуральных значений n десятичное представление дроби 1n будет периодическим без предпериода, где длина

Ledyanaya_Pustosh

57

Для решения этой задачи, давайте разберемся, каким образом можно определить, когда десятичное представление дроби будет периодическим без предпериода.

Периодическое разложение числа можно получить, деля числитель на знаменатель в делении с остатком и сохраняя все полученные остатки в виде последовательности. При достижении повторного значения остатка, период начинается.

В нашем случае, рассматриваемое число состоит из единицы в числителе, поэтому нам нужно найти такие значения знаменателя (n), при которых деление 1 на n будет давать периодическую десятичную дробь без предпериода.

Для определения периода числа 1/n, мы должны произвести деление 1 на n в столбик с сохранением остатков в каждом шаге.

Пусть r - остаток, оставшийся от деления 1 на n после первого шага деления. Если очередное значение остатка r в последовательности уже было ранее рассмотрено, то период начинается с этого значения.

Теперь рассмотрим случаи для разных значений знаменателя (n):

- Если n - простое число (не имеет делителей, кроме 1 и самого себя), то период десятичного представления числа 1/n будет иметь длину (n-1).

- Если n имеет множители 2 и/или 5 в своем разложении на простые множители, то периодического представления не будет, так как в таких случаях разница между двумя наиболее близкими цифрами в разложении числа будет равна десятичной дроби с периодом длиной 1.

- Если n не является простым числом и не имеет множителей 2 и 5, то период десятичного представления числа 1/n будет иметь длину, равную наименьшему числу k, для которого 10^k - 1 делится на n без остатка.

Например, для числа n = 7, мы можем сделать следующие шаги деления:

1 / 7 = 0.142857
10
- 10
------
20
- 14
------
60
- 56
------
40
- 35
------

Видим, что после 6 шагов мы получаем повторение остатка 1. Итак, периодическое представление числа 1/7 состоит из 6 цифр: 142857.

Таким образом, в задаче требуется найти значения n, при которых десятичное представление дроби 1/n будет периодическим без предпериода, где длина минимального периода равна значению (n-1).

Определим эти значения:

1. Первым подходящим значением является n = 3, так как деление 1 на 3 дает периодическую десятичную дробь 0.3333... с периодом длиной 1 (3-1=2).

2. Далее, n = 7, так как деление 1 на 7 дает периодическую десятичную дробь 0.142857 с периодом длиной 6 (7-1=6).

3. И последним, n = 17, так как деление 1 на 17 дает периодическую десятичную дробь 0.0588235294117647 с периодом длиной 16 (17-1=16).

Таким образом, ответом на задачу являются значения n = 3, 7 и 17, при которых десятичное представление дроби 1/n будет периодическим без предпериода, а длина минимального периода будет равна значению (n-1).