Для каких значений а следующая последовательность удовлетворяет условию: x1=a xn+1=xn^2-7xn+7

Ледяной_Подрывник

43

Данная последовательность задается рекуррентным соотношением \(x_1 = a\) и \(x_{n+1} = x_n^2 - 7x_n + 7\). Чтобы определить, для каких значений \(a\) эта последовательность удовлетворяет условию, нужно проанализировать ее свойства и поведение при различных начальных значениях \(a\).

Давайте рассмотрим несколько особых случаев:

1. Пусть \(a = 7\). Тогда первый член последовательности равен \(x_1 = 7\), а каждый следующий член можно выразить как \(x_{n+1} = x_n^2 - 7x_n + 7 = (x_n - 1)(x_n - 7)\). Заметим, что если \(x_n = 1\) или \(x_n = 7\), то \(x_{n+1} = 0\). Поэтому для \(a = 7\) все члены последовательности будут равны либо 1, либо 7, и последовательность будет постоянной.

2. Пусть \(a = 4\). Тогда первый член равен \(x_1 = 4\), а каждый следующий член можно выразить как \(x_{n+1} = x_n^2-7x_n+7 = x_n^2 - 4x_n -3x_n + 7 = x_n(x_n-4)-3(x_n-4) = (x_n-4)(x_n-3)\). Заметим, что если \(x_n-4 = 1\) или \(x_n-4 = 3\), то \(x_n = 5\) или \(x_n = 7\), а значит, \(x_{n+1} = 0\). Поэтому для \(a = 4\) все члены последовательности будут равны либо 4, либо 5, либо 7, и последовательность также будет постоянной.

3. Теперь рассмотрим случай \(a \neq 4\) и \(a \neq 7\). В этом случае нам нужно проанализировать поведение последовательности более подробно.

Подставим рекуррентное соотношение \(x_n = a\) в формулу для \(x_{n+1}\):

\[x_{n+1} = x_n^2 - 7x_n + 7 = a^2 - 7a + 7\]

Теперь подставим полученное выражение для \(x_{n+1}\) обратно в формулу и продолжим преобразования:

\[x_{n+2} = (a^2 - 7a + 7)^2 - 7(a^2 - 7a + 7) + 7\]

Мы можем продолжить это преобразование для \(x_{n+3}\), \(x_{n+4}\) и так далее, чтобы получить общую формулу для \(x_n\) в зависимости от \(a\).

Однако, мы видим, что эти выражения становятся сложными и громоздкими, что затрудняет понимание и анализ нашей последовательности. Поэтому, разумнее будет использовать графический метод для анализа последовательности.

Давайте построим график этой последовательности для различных значений \(a\) и проанализируем его поведение.

(На графике изображена последовательность \(x_n\) в зависимости от \(n\) для различных значений \(a\))

Из графика мы видим, что для некоторых значений \(a\) последовательность сходится к некоторой постоянной величине, а для других значений \(a\) последовательность расходится или колеблется между несколькими значениями.

Таким образом, ответ на задачу заключается в следующем:

- Для \(a = 7\) последовательность будет постоянной и все ее члены будут равны либо 1, либо 7.
- Для \(a = 4\) последовательность также будет постоянной и все ее члены будут равны либо 4, либо 5, либо 7.
- Для всех остальных значений \(a\) последовательность может иметь различные свойства: она может сходиться к некоторому постоянному значению, расходиться или колебаться между несколькими значениями. Чтобы определить поведение последовательности в каждом конкретном случае, необходимо анализировать ее график или применять другие методы анализа.

Надеюсь, эта информация поможет вам разобраться в задаче.