Для каких значений а уравнение x^2 - 4x + a ): (5x^2 - 6ax + a^2 ) = 0 имеет два разных решения?

Filipp

22

Для того чтобы найти значения \(a\), при которых уравнение имеет два разных решения, мы должны рассмотреть дискриминант квадратного трехчлена.

У нас дано уравнение

\[x^2 - 4x + a = (5x^2 - 6ax + a^2) = 0.\]

Давайте сначала представим его в виде:

\[5x^2 - 6ax + (a^2 - x^2 + 4x) = 0.\]

Теперь сгруппируем по переменной \(x\):

\[(5 - 1)x^2 + (-6a + 4)x + (a^2) = 0.\]

Так как мы ищем значения \(a\) при которых уравнение имеет два разных решения, то дискриминант \(\Delta\) должен быть больше нуля.

Дискриминант квадратного трехчлена равен:

\[\Delta = b^2 - 4ac,\]

где \(a = (5 - 1)\), \(b = (-6a + 4)\) и \(c = a^2\).

Подставим значения переменных в формулу для дискриминанта:

\[\Delta = (-6a + 4)^2 - 4(5 - 1)(a^2).\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[\Delta = (36a^2 - 48a + 16) - 4(20a^2 - 4a^2).\]

\[\Delta = 36a^2 - 48a + 16 - 80a^2 + 16a^2.\]

\[\Delta = -28a^2 - 32a + 16.\]

Теперь, чтобы найти значения \(a\) при которых \(\Delta > 0\), нам нужно решить следующее неравенство:

\[-28a^2 - 32a + 16 > 0.\]

Мы можем решить это неравенство, используя методы факторизации или квадратного корня. Давайте используем метод факторизации.

Домножим неравенство на -1 для удобства:

\[28a^2 + 32a - 16 < 0.\]

Теперь факторизуем выражение слева:

\[4(7a^2 + 8a - 4) < 0.\]

И теперь разделим неравенство на 4:

\[7a^2 + 8a - 4 < 0.\]

Теперь, чтобы решить это неравенство, мы можем построить таблицу знаков или использовать метод интервалов.

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& 7a^2 + 8a - 4 < 0 & \\
\hline
a < a_1 & a_1 < a < a_2 & a > a_2 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы видим, что неравенство выполняется при

\[a_1 < a < a_2,\]

где \(a_1\) и \(a_2\) - корни квадратного уравнения \(7a^2 + 8a - 4 = 0\).

Для нахождения корней уравнения \(7a^2 + 8a - 4 = 0\) можно использовать формулу дискриминанта:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a},\]

где \(a = 7\), \(b = 8\) и \(c = -4\).

Вычислим дискриминант:

\[\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 64 + 112 = 176.\]

Теперь используем результаты вычисления дискриминанта, чтобы найти корни:

\[a_1 = \frac{-8 + \sqrt{176}}{2 \cdot 7} \approx -1.05,\]
\[a_2 = \frac{-8 - \sqrt{176}}{2 \cdot 7} \approx -2.62.\]

Таким образом, мы нашли, что неравенство выполняется при \(-2.62 < a < -1.05\).

Значит, для значений \(a\) от -2.62 до -1.05 уравнение имеет два разных решения.