Для каких значений m уравнение 2005^2x-6*2005^x+m^2-8M=0 имеет только один корень в числовом интервале?

Скрытый_Тигр

14

Чтобы найти значения \( m \), при которых уравнение \( 2005^{2x} - 6 \cdot 2005^x + m^2 - 8M = 0 \) имеет только один корень в числовом интервале, нам необходимо проанализировать его дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) определяется следующей формулой: \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем уравнении, мы имеем:
\( a = 2005^2 \)
\( b = -6 \cdot 2005 \)
\( c = m^2 - 8M \)

Подставляем значения в формулу для дискриминанта и упрощаем:

\[ D = (-6 \cdot 2005)^2 - 4 \cdot 2005^2 \cdot (m^2 - 8M) \]

Далее раскрываем скобки и делаем математические операции:

\[ D = 36 \cdot 2005^2 - 4 \cdot 2005^2 \cdot (m^2 - 8M) \]
\[ D = 4 \cdot 2005^2 \cdot (9 - (m^2 - 8M)) \]
\[ D = 4 \cdot 2005^2 \cdot (9 - m^2 + 8M) \]
\[ D = 4 \cdot 2005^2 \cdot (9 + 8M - m^2) \]

Теперь нам известно, что уравнение имеет только один корень, если его дискриминант равен нулю: \( D = 0 \).
Подставляем значение дискриминанта:

\[ 4 \cdot 2005^2 \cdot (9 + 8M - m^2) = 0 \]

Теперь разделим обе стороны уравнения на \( 4 \cdot 2005^2 \):

\[ 9 + 8M - m^2 = 0 \]

Проанализируем полученное квадратное уравнение. Если уравнение имеет только один корень в числовом интервале, то его дискриминант также должен быть равен нулю.

Мы знаем, что \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28 \).

Таким образом, уравнение \( 9 + 8M - m^2 = 0 \) будет иметь только один корень в числовом интервале, если его дискриминант равен нулю:

\[ 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (9 + 8M - m^2) = 0 \]
\[ 64 - 4(9 + 8M - m^2) = 0 \]
\[ 64 - 36 - 32M + 4m^2 = 0 \]
\[ 28 - 32M + 4m^2 = 0 \]

Это квадратное уравнение в переменной \( m \). Теперь можем его решить, чтобы найти значения \( m \), при которых исходное уравнение имеет только один корень в числовом интервале.