Для каких значений n прямые {x=-2+bt , {y=1-at, {z=3+ct будут перпендикулярными? Пожалуйста, предоставьте подробное

Дмитриевич

35

Конечно! Чтобы определить, для каких значений параметров \(n\) прямые будут перпендикулярными, нам нужно учесть свойство перпендикулярных прямых.

Две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны, если и только если их направляющие векторы ортогональны друг другу.

У нас даны направляющие векторы для данных прямых:

Прямая \(x = -2 + bt\) имеет направляющий вектор \(\vec{a} = \langle b, 0, 0 \rangle\).

Прямая \(y = 1 - at\) имеет направляющий вектор \(\vec{b} = \langle 0, -a, 0 \rangle\).

Прямая \(z = 3 + ct\) имеет направляющий вектор \(\vec{c} = \langle 0, 0, c \rangle\).

Чтобы эти прямые были перпендикулярными, направляющие векторы должны быть ортогональными.

Таким образом, для того чтобы прямые были перпендикулярными, должно выполняться условие:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 0\) и \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\).

Вычислим скалярные произведения:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = b \cdot 0 + 0 \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = 0\) (1)

\(\vec{a} \cdot \vec{c} = b \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot c = 0\) (2)

\(\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 \cdot 0 + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot c = 0\) (3)

Теперь мы можем решить полученные уравнения:

Из уравнения (1) получаем \(0 = 0\).

Из уравнения (2) получаем \(0 = 0\).

Из уравнения (3) получаем \(0 = 0\).

Таким образом, мы видим, что независимо от значений параметров \(a\), \(b\) и \(c\), прямые будут перпендикулярными для любых \(n\).

Ответ: Прямые {x=-2+bt , {y=1-at, {z=3+ct будут перпендикулярными для любых значений \(n\).