Для каких значений p прямая y=p пересекается с графиком функции y=f(x) как минимум в трех точках, где f(x) = 1) x(x-2

Крокодил

61

Хорошо, чтобы найти значения параметра \( p \), при которых прямая \( y = p \) пересекается с графиком функции \( y = f(x) \) не менее, чем в трех точках, давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности.

1) Функция \( f(x) = x(x-2) \) при \( x \geq 0 \)

Для начала, нам нужно найти точки пересечения прямой \( y = p \) с графиком функции \( y = f(x) \). Чтобы это сделать, приравняем \( p \) и \( f(x) \) и решим полученное уравнение относительно \( x \):

\[ p = x(x-2) \]

Раскроем скобки и приведем уравнение к квадратному виду:

\[ p = x^2 - 2x \]
\[ x^2 - 2x - p = 0 \]

Теперь, для того чтобы прямая \( y = p \) пересекалась с графиком функции \( y = f(x) \) не менее, чем в трех точках, дискриминант уравнения должен быть неотрицательным:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p) \geq 0 \]

Решим это неравенство, чтобы найти соответствующие значения параметра \( p \):

\[ 4 + 4p \geq 0 \]
\[ 4p \geq -4 \]
\[ p \geq -1 \]

Таким образом, для функции \( y = x(x-2) \) при \( x \geq 0 \), значения параметра \( p \), при которых прямая \( y = p \) пересекается с графиком функции не менее, чем в трех точках, должны быть \( p \geq -1 \).

2) Функция \( f(x) = -x(x+4) \) при \( x \)

Для этой функции мы можем провести аналогичные выкладки, чтобы найти значения параметра \( p \). Параллельно прямая \( y = p \) будет иметь уравнение \( y = p \).

Равенство \( p \) и \( f(x) \) будет выглядеть следующим образом:

\[ p = -x(x+4) \]

Приведем это уравнение к квадратному виду:

\[ -x^2 - 4x - p = 0 \]

Теперь, чтобы прямая \( y = p \) пересекалась с графиком функции \( y = f(x) \) не менее, чем в трех точках, дискриминант уравнения должен быть неотрицательным:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-p) \geq 0 \]

Найдем соответствующие значения параметра \( p \), решив полученное неравенство:

\[ 16 + 4p \geq 0 \]
\[ 4p \geq -16 \]
\[ p \geq -4 \]

Таким образом, для функции \( y = -x(x+4) \) при \( x < 0 \), значения параметра \( p \), при которых прямая \( y = p \) пересекается с графиком функции не менее, чем в трех точках, должны быть \( p \geq -4 \).

В итоге, для заданной задачи, значения параметра \( p \) должны удовлетворять условиям \( p \geq -1 \) и \( p \geq -4 \) одновременно.

Таким образом, ответом на задачу является: \( p \geq -1 \).