Известно, что уравнение x^2 + 6x - 13 = 0 имеет корни x1 и x2. Найдите значение выражения x1^2 + x2^2 без решения

Nikita

51

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово:

1. Сначала мы знаем, что уравнение \(x^2 + 6x - 13 = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\).

2. Формула для суммы корней квадратного уравнения, где уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), это \(-\frac{b}{a}\).

3. Формула для произведения корней квадратного уравнения - это \(\frac{c}{a}\).

4. В данном случае, коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны \(1\), \(6\) и \(-13\) соответственно. Так что \(a = 1\), \(b = 6\) и \(c = -13\).

5. Мы можем использовать эти формулы, чтобы найти сумму и произведение корней.

6. Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{1} = -6\).

7. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-13}{1} = -13\).

8. Теперь мы можем использовать найденные значения, чтобы найти значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\).

9. Возведение в квадрат суммы и разности корней дает: \((x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\).

10. Разность корней возводится в квадрат: \((x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2\).

11. Мы можем найти \(x_1^2 + x_2^2\) из этих двух выражений, вычтя второе из первого: \((x_1 + x_2)^2 - (x_1 - x_2)^2\).

12. Вставим найденные значения суммы и разности корней: \((-6)^2 - (-13)^2\).

13. Выполним возведение в квадрат: \(36 - 169 = -133\).

Таким образом, значение выражения \(x_1^2 + x_2^2\) равно \(-133\).