Для каких значений параметра a и c система уравнений {bx+y=ac^2 {x+by=ac+1 имеет решения хотя бы при одном значении

Валентин

7

Данная система уравнений имеет вид:

\[
\begin{{align*}}
bx + y &= ac^2 \\
x + by &= ac + 1
\end{{align*}}
\]

Для того чтобы определить, при каких значениях параметров \(a\) и \(c\) система имеет решения, мы рассмотрим два случая:

Случай 1: Параметр \(b\) может принимать любое значение.

При этом значение параметра \(b\) не оказывает никакого влияния на систему, так как при решении системы уравнений мы будем исключать этот параметр. Поэтому ответом будет любое значение параметра \(c\), кроме случая, когда \(c = 0\). Таким образом, для случая 1, решения существуют при \((-∞,-4] \cup [4,+∞)\).

Случай 2: Параметр \(b\) фиксирован и равен \(\pm 1\).

Для анализа этого случая, нам необходимо внести значение параметра \(b\) в систему и решить ее. Рассмотрим два варианта:

Вариант 1: \(b = 1\)

\[
\begin{{align*}}
x + y &= ac^2 \\
x + y &= ac + 1
\end{{align*}}
\]

Приравнивая правые части уравнений, получаем:

\[
ac^2 = ac + 1
\]

После переноса всех членов в левую часть и упрощения выражения, получаем:

\[
ac^2 - ac - 1 = 0
\]

Теперь решим данное уравнение относительно параметра \(c\) с помощью понятия дискриминанта \(D\):

\[
D = (-a)^2 - 4 \cdot a \cdot (-1) = a^2 + 4
\]

Мы знаем, что для наличия решений дискриминант должен быть неотрицательным, т.е. \(D \geq 0\). Рассмотрим два варианта:

Вариант 1.1: \(a > 0\)

Если \(a > 0\), то \(D = a^2 + 4 > 0\), что означает, что дискриминант всегда положителен. Следовательно, у нас есть два возможных варианта:

1.1.1: Если дискриминант равен нулю, \(D = 0\), то получаем один корень \(c\):

\[
c = \frac{{-(-a)}}{{2a}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}
\]

1.1.2: Если дискриминант больше нуля, \(D > 0\), то получаем два корня \(c\):

\[
c_1 = \frac{{-(-a) - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2a}
\]

\[
c_2 = \frac{{-(-a) + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2a}
\]

Вариант 1.2: \(a = 0\)

Если \(a = 0\), то дискриминант \(D = 4\), и мы получаем один корень:

\[
c = \frac{0}{2 \cdot 0} = \text{UNDEFINED}
\]

Таким образом, вариант 1 дает решения при \(c = \frac{1}{2}\), \(c = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2a}\) и \(c = \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2a}\) (если \(a \neq 0\)).

Вариант 2: \(b = -1\)

\[
\begin{{align*}}
x + y &= ac^2 \\
x - y &= ac + 1
\end{{align*}}
\]

Приравнивая правые части уравнений, получаем:

\[
ac^2 = ac + 1
\]

После переноса всех членов в левую часть и упрощения выражения, получаем:

\[
ac^2 - ac - 1 = 0
\]

Так как это уравнение является тем же самым уравнением, которое мы рассмотрели варианте 1 с \(b = 1\), то решения варианта 2 совпадают с решениями варианта 1.

Таким образом, при \(b = \pm 1\) система имеет решения при \(c = \frac{1}{2}\), \(c = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2a}\) и \(c = \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2a}\) (если \(a \neq 0\)).

В случае 1 ответом является \((-∞,-4] \cup [4,+∞)\), потому что при \(b = \pm 1\) у нас уже есть ограничение на параметр \(c\) из вариантов 1 и 2, а именно \(c = \frac{1}{2}\), \(c = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2a}\) и \(c = \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2a}\) (если \(a \neq 0\)). Поэтому мы исключаем из ответа значение \(c = \frac{1}{2}\) и получаем \((-∞,-4] \cup [4,+∞)\).

В случае 2 система не имеет решений, потому что при \(b = \pm 1\) все возможные значения \(c\) уже исключены из решения, кроме \(c = \frac{1}{2}\), \(c = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2a}\) и \(c = \frac{a - \sqrt{a^2 + 4}}{2a}\) (если \(a \neq 0\)). Так как иных значений \(c\) нет, то система не имеет решений.

Надеюсь, данное пошаговое решение позволило вам лучше понять, почему ответом в случае 1 является \((-∞,-4] \cup [4,+∞)\), а в случае 2 система не имеет решений. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте их!