Для какого минимального целого значения k уравнение 5x^2 + 7x - k = 0 имеет два различных корня?

Yakobin

1

Чтобы найти минимальное целое значение k, при котором уравнение \(5x^2 + 7x - k = 0\) имеет два различных корня, давайте воспользуемся формулой дискриминанта.

Дискриминант \(D\) определяется как

\[D = b^2 - 4ac\]

где в нашем уравнении коэффициент \(a = 5\), коэффициент \(b = 7\), а коэффициент \(c = -k\). Для того чтобы иметь два различных корня, дискриминант должен быть больше нуля, т.е. \(D > 0\).

Подставляя значения коэффициентов в формулу дискриминанта, получаем:

\[D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-k)\]

Давайте продолжим упрощать это выражение:

\[D = 49 + 20k\]

Таким образом, нам нужно найти минимальное целое значение \(k\), для которого \(D > 0\). Чтобы сделать это, приравняем \(D\) к нулю и найдем значение \(k\):

\[49 + 20k = 0\]

Вычитаем 49 из обеих частей:

\[20k = -49\]

Делим обе части на 20:

\[k = -\frac{49}{20}\]

Однако, мы ищем минимальное целое значение \(k\), а \(-\frac{49}{20}\) - это десятичная дробь. Ближайшим меньшим целым числом является \(-3\). Таким образом, минимальное целое значение \(k\), для которого уравнение \(5x^2 + 7x - k = 0\) имеет два различных корня, равно \(-3\).