Сколько способов можно выбрать 6 человек для участия в эстафете из 7 юношей и 6 девушек, чтобы в группе было не менее

Солнечный_Феникс

31

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторный подход. Давайте рассмотрим все возможные случаи и пошагово разберемся.

1. Вариант выбрать 6 девушек:
В данном случае мы имеем только 6 девушек, и поскольку в группе должно быть не менее двух девушек, этот вариант является допустимым и мы имеем 1 способ выбрать все шестерых участников из девушек.

2. Вариант выбрать 5 девушек и 1 юношу:
Теперь рассмотрим ситуацию, когда мы выбираем 5 девушек и 1 юношу. Для этого у нас есть 6 девушек и 7 юношей. Чтобы выбрать 5 девушек, у нас есть \(\binom{6}{5}\) способов, а для выбора 1 юноши - \(\binom{7}{1}\) способ. Таким образом, общее количество способов для данного случая равно \(\binom{6}{5} \times \binom{7}{1}\).

3. Вариант выбрать 4 девушки и 2 юношей:
Аналогично предыдущему варианту, чтобы выбрать 4 девушки из 6, у нас есть \(\binom{6}{4}\) способов, а чтобы выбрать 2 юношей из 7, у нас есть \(\binom{7}{2}\) способа. Общее количество способов для данного случая равно \(\binom{6}{4} \times \binom{7}{2}\).

Продолжая аналогичные рассуждения для трех, четырех и пяти юношей, мы получим следующую таблицу:

| Количество девушек | Количество юношей | Количество способов |
|--------------------|------------------|--------------------|
| 6 | 0 | 1 |
| 5 | 1 | \(\binom{6}{5}\) \times \(\binom{7}{1}\) |
| 4 | 2 | \(\binom{6}{4}\) \times \(\binom{7}{2}\) |
| 3 | 3 | \(\binom{6}{3}\) \times \(\binom{7}{3}\) |
| 2 | 4 | \(\binom{6}{2}\) \times \(\binom{7}{4}\) |
| 1 | 5 | \(\binom{6}{1}\) \times \(\binom{7}{5}\) |
| 0 | 6 | \(\binom{6}{0}\) \times \(\binom{7}{6}\) |

Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать группу из 6 человек с учетом условий задачи, мы просто сложим все значения в колонке "Количество способов":

\[ \text{Общее количество способов} = 1 + \left(\binom{6}{5} \times \binom{7}{1}\right) + \left(\binom{6}{4} \times \binom{7}{2}\right) + \left(\binom{6}{3} \times \binom{7}{3}\right) + \left(\binom{6}{2} \times \binom{7}{4}\right) + \left(\binom{6}{1} \times \binom{7}{5}\right) + \left(\binom{6}{0} \times \binom{7}{6}\right) \]

Теперь давайте вычислим это значение:

\[ \text{Общее количество способов} = 1 + \left(\binom{6}{5} \times \binom{7}{1}\right) + \left(\binom{6}{4} \times \binom{7}{2}\right) + \left(\binom{6}{3} \times \binom{7}{3}\right) + \left(\binom{6}{2} \times \binom{7}{4}\right) + \left(\binom{6}{1} \times \binom{7}{5}\right) + \left(\binom{6}{0} \times \binom{7}{6}\right) \\
= 1 + (6 \times 7) + (15 \times 21) + (20 \times 35) + (15 \times 35) + (6 \times 21) + (1 \times 7) \\
= 1 + 42 + 315 + 700 + 525 + 126 + 7 \\
= 1716 \]

Итак, общее количество способов выбрать группу из 6 человек с учетом указанных условий равно 1716.