Для какого значения n прямые {7x−y+6z−5=0 9z−y−8z+4=0 и 1−x7=y−3n=4−z1 будут параллельны?

Маня

20

Чтобы определить, при каком значении \(n\) прямые будут параллельными, нам необходимо проанализировать коэффициенты при \(x\), \(y\) и \(z\) в уравнениях этих прямых.

У нас есть три уравнения прямых:

\(7x - y + 6z - 5 = 0\) (1)

\(9z - y - 8z + 4 = 0\) (2)

\(1 - 7x = y - 3n = 4 - z\) (3)

Для понимания параллельности прямых, мы можем рассмотреть их нормальные векторы. Нормальный вектор \(n_1\) прямой (1) будет \(\begin{bmatrix}7\\-1\\6\end{bmatrix}\), для прямой (2) будет \(\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}\), и для прямой (3) будет \(\begin{bmatrix}-7\\1\\-1\end{bmatrix}\).

Прямые будут параллельными, если нормальные векторы пропорциональны друг другу. Для этого нам нужно сравнить отношения компонент векторов.

Сравнивая компоненты, мы видим, что отношение компонент внутри каждого из векторов следующее:

Нормальный вектор (1): \(7/(-1) = -7\), \(7/6\), \(-1/(-1) = 1\)

Нормальный вектор (2): \(0/(-1) = 0\), \(-1/1 = -1\), \(1/(-1) = -1\)

Нормальный вектор (3): \((-7)/1 = -7\), \(1/(-3n) = 1\), \((-1)/(4-1) = -1/3\)

Чтобы найти значение \(n\), для которого прямые будут параллельными, мы равняем соответствующие компоненты векторов (1) и (3):

\(\frac{7}{-1} = -7\) и \(\frac{7}{6} = 1\)

Отсюда получаем, что

\(\frac{-7}{1} = -7\) и \(\frac{1}{-3n} = 1\)

Решим уравнение \(\frac{1}{-3n} = 1\) относительно \(n\):

\(\frac{1}{-3n} = 1\)

Умножаем обе части уравнения на \(-3n\):

\(1 = -3n\)

Делим обе части на \(-3\):

\(-\frac{1}{3} = n\)

Таким образом, при \(n = -\frac{1}{3}\) прямые будут параллельными.

Надеюсь, что это детальное объяснение помогло вам понять, как получить значение \(n\), для которого прямые будут параллельными. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, пожалуйста, позвольте мне знать!