Найти наименьшее значение х внутри отрезка [2, √10] для уравнения 4^х-2^х-3+15=0

Vodopad_8140

20

Для начала, давайте проанализируем данное уравнение и найдем его решение с помощью пошагового решения.

Уравнение, которое нужно решить, имеет вид:
\[4^x - 2^x - 3 + 15 = 0.\]

Перенесем все слагаемые так, чтобы получить уравнение равное нулю:
\[4^x - 2^x + 12 = 0.\]

Заметим, что данное уравнение содержит две степени, связанные с различными основаниями. Такие уравнения называются трансцендентными и их решение можно найти только численными методами.

Однако, ограничение "найти наименьшее значение \(x\) внутри отрезка [2, √10]" говорит нам, что решение должно находиться в пределах этого отрезка.

Для пошагового решения, давайте выразим одну из степеней через другую, чтобы у нас было одно уравнение с одной неизвестной:

\[2^{2x} - 2^x + 12 = 0.\]

Теперь заметим, что данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной \(2^x\). Поэтому, мы можем ввести замену:

\(y = 2^x\).

Таким образом, наше уравнение примет следующий вид:
\[y^2 - y + 12 = 0.\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac.\]

Для нашего уравнения, где \(a = 1\), \(b = -1\) и \(c = 12\), получаем:
\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47.\]

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, а значит, исходное уравнение не имеет точных решений в пределах заданного отрезка [2, √10].

Таким образом, мы не можем найти наименьшее значение \(x\) внутри данного отрезка, которое удовлетворяет данному уравнению.