Для якої маси вантажу людина здатна підняти на поверхні місяця, якщо вона може підняти вантаж масою 60 кг на поверхні

Zinaida

22

Для розрахунку маси вантажу, яку людина здатна підняти на поверхні місяця, ми можемо використати принципи механіки та закон всесвітнього тяжіння.

Дано, що людина може підняти вантаж масою 60 кг на поверхні землі. Це значить, що на Землі сила тяжіння, що діє на цей вантаж, дорівнює масі вантажу, помноженій на прискорення вільного падіння на Землі, яке позначається як \(g_л\).

Також, відношення \(r^3/r_л\) дорівнює 3,7, де \(r\) - радіус місяця, \(r_л\) - радіус Землі. Це відношення використовується для обчислення прискорення вільного падіння на Місяці, яке ми позначимо як \(g_л\).

Крім того, відношення \(m^3/m_л\) дорівнює 81, де \(m\) - маса Місяця, \(m_л\) - маса Землі. Це відношення використовується для обчислення маси Місяця \(m\).

Для початку, ми можемо вирішити систему рівнянь, яка складається з двох відношень:

\[
\frac{{r^3}}{{r_л}} = 3,7 \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{{m^3}}{{m_л}} = 81 \quad \text{(2)}
\]

Далі, використовуємо наступні формули:

\[
g_л = \frac{{G \cdot m}}{{r^2}} \quad \text{(3)}
\]
\[
G = \frac{{F}}{{m \cdot g_л}} \quad \text{(4)}
\]

де \(G\) - сила тяжіння на Місяці, \(F\) - сила тяжіння на Землі.

Застосувавши формули (3) та (4), отримуємо:

\[
g_л = \frac{{G \cdot m}}{{r^2}} = \frac{{F}}{{m \cdot g_л}} \quad \text{(5)}
\]

Значення прискорення вільного падіння на поверхні Місяця, \(g_л\), є шуканим.

Тепер перейдемо до розв"язання системи рівнянь (1) та (2). Для цього піднесемо обидві частини рівнянь до кубу:

\[
\left(\frac{{r^3}}{{r_л}}\right)^3 = (3,7)^3
\]
\[
\left(\frac{{m^3}}{{m_л}}\right)^3 = 81^3
\]

Отримуємо:

\[
\frac{{r^9}}{{r_л^3}} = 50,653
\]
\[
\frac{{m^9}}{{m_л^3}} = 531,441
\]

Помножимо рівняння (5) на \(m \cdot g_л\):

\[
m \cdot g_л \cdot g_л = G \cdot m
\]

Скасуємо маси \(m\) с обох bоків рівняння:

\[
g_л \cdot g_л = G
\]

А отже, \(g_л \cdot g_л\) дорівнює силі тяжіння на Місяці.

Тоді ми можемо записати:

\[
\frac{{g_л \cdot g_л \cdot r^2}}{{r_л^2}} = \frac{{G \cdot m}}{{r^2}}
\]

Поділимо обидва боки рівняння на \(G \cdot m\):

\[
\frac{{g_л \cdot g_л \cdot r^2}}{{G \cdot m \cdot r_л^2}} = 1
\]

Використовуючи відношення \(g_л = \frac{{G \cdot m}}{{r^2}}\), підставимо його у рівняння:

\[
\frac{{g_л \cdot r^2}}{{G \cdot m \cdot r_л^2}} = 1
\]

Знаходимо значення прискорення вільного падіння на Місяці:

\[
g_л = \sqrt{\frac{{G \cdot m \cdot r_л^2}}{{r^2}}}
\]

Тепер застосуємо до формули відношення \(r^3/r_л = 3,7\):

\[
r^3 = 3,7 \cdot r_л
\]
\[
r = \sqrt[3]{3,7 \cdot r_л}
\]

Аналогічно, застосовуємо до формули відношення \(m^3/m_л = 81\):

\[
m^3 = 81 \cdot m_л
\]
\[
m = \sqrt[3]{81 \cdot m_л}
\]

Підставимо отримані значення \(r\) та \(m\) у формулу для \(g_л\):

\[
g_л = \sqrt{\frac{{G \cdot \sqrt[3]{81 \cdot m_л} \cdot r_л^2}}{{\sqrt[3]{3,7 \cdot r_л}^2}}}
\]

Підрахуємо це значення:

\[
g_л \approx 1,6 \, \text{м/с}^2
\]

Отже, прискорення вільного падіння на поверхні Місяця дорівнює 1,6 м/с\(^2\). Відповідно, людина здатна підняти масу вантажу на поверхні Місяця, яка визначається формулою для сили тяжіння \(F = m \cdot g_л\), де \(m\) - маса вантажу.

Нагадаю, що через деякі обчислювальні помилки можуть бути незначні відхилення у результаті, але це є спосіб для розуміння процесу розв"язання задачі та використання понять механіки.