Добрый день, преобразовать следующее выражение: (4cos^2x+8sinx-7)/(корень от -tgx)=0

Марк

10

Здравствуйте! Для решения данной задачи, мы сначала преобразуем выражение, а затем найдем значения \( x \), при которых оно равно нулю.

Дано выражение: \(\frac{{4\cos^2x + 8\sin x - 7}}{{\sqrt{-\tan x}}}=0\)

Для начала заметим, что выражение содержит тангенс. Значение тангенса не существует при определенных значениях \( x \), так как он является бесконечным. Поэтому эти значения \( x \) мы должны исключить из области определения.

После того как исключим значения \( x \), при которых тангенс не определен, мы можем продолжить с преобразованием выражения.

\(\frac{{4\cos^2x + 8\sin x - 7}}{{\sqrt{-\tan x}}}=0\)

Заменим \(\cos^2x\) с помощью тождества \(\cos^2x = 1 - \sin^2x\):

\(\frac{{4(1-\sin^2x) + 8\sin x - 7}}{{\sqrt{-\tan x}}}=0\)

Выполним раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых:

\(\frac{{4 - 4\sin^2x + 8\sin x - 7}}{{\sqrt{-\tan x}}}=0\)

\(\frac{{-4\sin^2x + 8\sin x - 3}}{{\sqrt{-\tan x}}}=0\)

Для облегчения работы с этими сложными выражениями, мы можем ввести новую переменную. Пусть \( t = \sin x \), тогда \( \sin^2x = t^2 \).

Заменим соответствующие части выражения:

\(\frac{{-4t^2 + 8t - 3}}{{\sqrt{-\tan x}}}=0\)

Теперь, чтобы решить уравнение, необходимо привести его к квадратному виду. Сделаем замену \(\sqrt{-\tan x} = u\), тогда \(-\tan x = u^2\).

\(\frac{{-4t^2 + 8t - 3}}{{u}}=0\)

Умножим обе части уравнения на \(u\):

\(-4t^2 + 8t - 3 = 0\)

Данное уравнение является квадратным. Можно использовать формулу дискриминанта, чтобы найти его корни. Дискриминант \(D\) равен:

\(D = b^2 - 4ac\)

для данного уравнения, где \(a = -4\), \(b = 8\), и \(c = -3\).

Вычислим значение дискриминанта:

\(D = 8^2 - 4(-4)(-3) = 64 - 48 = 16\)

Дискриминант положительный, что означает, что у уравнения есть два различных корня.

Формула для нахождения корней в общем виде:

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\)

Подставим значения в формулу:

\[x = \frac{{-8 \pm \sqrt{16}}}{{2(-4)}}\]

Упростим выражение:

\[x = \frac{{-8 \pm 4}}{{-8}}\]

Теперь найдем значения \(x\):

Для \(x = \frac{{-8 + 4}}{{-8}} = \frac{{-4}}{{-8}} = \frac{1}{2}\)

Для \(x = \frac{{-8 - 4}}{{-8}} = \frac{{-12}}{{-8}} = \frac{3}{2}\)

Таким образом, уравнение равно нулю при \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = \frac{3}{2}\).

В результате, решение исходного уравнения \(\frac{{4\cos^2x + 8\sin x - 7}}{{\sqrt{-\tan x}}}=0\) - это значения \( x = \frac{1}{2} \) и \( x = \frac{3}{2} \), которые удовлетворяют условию задачи.