Доказать, что еfкр - параллелограмм, при условии, что af=fc и bp=pd

Кузя

21

Для доказательства того, что параллелограмм \(efkr\) необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны. В данной задаче нам уже дано, что \(af = fc\) и \(bp = pd\).

Давайте внимательно рассмотрим данную ситуацию на рисунке ниже:

\[picture\]

Из условия \(af = fc\) следует, что отрезок \(ac\) является серединным перпендикуляром к стороне \(ef\). (Поскольку \(af = fc\), то \(ac\) делит \(ef\) на две равные части, а также в точке \(e\) он перпендикулярен к стороне \(ef\). То же самое верно для стороны \(kr\).)

Далее, из условия \(bp = pd\) следует, что отрезок \(bd\) также является серединным перпендикуляром к стороне \(ef\). Как и в предыдущем случае, отрезок \(bd\) делит \(ef\) на две равные части, а также в точке \(e\) он перпендикулярен к стороне \(ef\). (То же самое верно для стороны \(kr\).)

Таким образом, мы видим, что отрезки \(ac\) и \(bd\) являются серединными перпендикулярами к сторонам параллелограмма \(efkr\).

Однако, если серединные перпендикуляры к сторонам одного и того же отрезка пересекаются, то это означает, что этот отрезок параллелен противоположным сторонам фигуры.

Таким образом, исходя из построения и доказательства серединных перпендикуляров, мы можем заключить, что \(efkr\) является параллелограммом.