Докажите, что AH = CK, если на прямой AC, проходящей через две другие вершины квадратов, опущены перпендикуляры EK

Сквозь_Лес

69

Чтобы доказать, что $AH = CK$, посмотрим на данные фигуры и воспользуемся определенными свойствами.

Поскольку мы имеем дело с квадратами, у нас есть несколько фактов, которые нам могут пригодиться.

Первым свойством является то, что все стороны квадрата равны. Это означает, что все стороны ABCD и EFGH имеют одинаковые длины.

Другое важное свойство квадрата заключается в том, что его углы прямые. Это означает, что углы BAD, AHE, EKF и FCG равны 90 градусам.

Пояснение: Когда мы проводим перпендикуляры EK и DH от точек, лежащих на линии AC, мы образуем два прямоугольных треугольника, AHE и FCG, с гипотенузами AH и CK соответственно.

Используя данные факты, мы можем доказать равенство AH и CK.

1. По свойству квадрата все стороны ABCD равны между собой. Это означает, что AC = BC.
2. Поскольку углы BAD и AHE прямые, треугольники AHE и ABC подобны по случаю угол-прямому уголу, поэтому их соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому AH/AC = AE/AB.
3. Аналогично, поскольку FCG является прямым треугольником, треугольники FCG и BCD также подобны по случаю угол-прямому уголу. Это означает, что FK/BC = FC/CD.
4. Но, как мы уже установили в шаге 1, AC = BC, поэтому мы можем записать FK/AC = FC/CD.
5. Поскольку EK и DH являются перпендикулярами к AC, они пересекают AC в одной и той же точке K. То есть точка K является общим основанием для треугольников AHE и FCG.
6. Поэтому AE = FC и AB = CD.
7. Подставляя эти равенства в уравнение AH/AC = AE/AB из шага 2 и FK/AC = FC/CD из шага 4, мы получаем AH/AC = FK/AC.
8. Так как AC отменяется, мы получаем AH = FK.
9. Наконец, поскольку K является общим основанием для треугольников AHE и FCG, а их высоты (EK и DH) также равны, то AH = CK.

Таким образом, мы убедились, что AH = CK, и наше доказательство завершено.