Докажите, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны, если из точки О в указанном порядке выходят лучи ОА

Владимировна_4283

13

Для доказательства перпендикулярности биссектрис углов AOC и BOD, мы можем использовать свойства биссектрис и свойства вертикальных углов.

Пусть угол AOC имеет меру x, а угол BOD имеет меру y.

Заметим, что углы AOB и COD образуют линейную пару, так как их сумма равна 180°. Это означает, что они являются смежными углами и дополняют друг друга.

Теперь предположим, что биссектрисы углов AOC и BOD пересекаются в точке M. Мы хотим доказать, что эти биссектрисы перпендикулярны.

По определению, биссектрисы делят угол пополам. Это означает, что из точки M угол AOC делится на два равных угла, и каждый из них равен x/2. Аналогично, из точки M угол BOD делится на два равных угла, каждый из которых равен y/2.

Теперь обратимся к свойствам вертикальных углов. Вертикальные углы равны между собой, поэтому угол AOM равен углу DOM и равен x/2, а угол BOM равен углу COM и равен y/2.

Теперь обратим внимание на треугольники AOM и BOM. У них есть два равных угла (углы AOM и BOM), а по свойству равных углов, треугольники AOM и BOM равны по стороне-стороне-стороне (SAS).

Таким образом, сторона OM общая у этих треугольников, угол AOM равен углу BOM, а сторона AO равна стороне BO.

Из равенства треугольников следует, что сторона AM равна стороне BM. Это означает, что треугольники AOM и BOM равнобедренные.

По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса угла AOC перпендикулярна основанию треугольника AO и равнобедренной стороне AM.

По аналогичным рассуждениям, биссектриса угла BOD перпендикулярна основанию треугольника BO и равнобедренной стороне BM.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.