Докажите, что центр проекции точки М на плоскость АВС совпадает с точкой М, которая лежит вне плоскости квадрата ABCD

Zhiraf

67

Для доказательства данного утверждения рассмотрим следующую ситуацию:

Представим, что у нас есть квадрат ABCD на плоскости, а также точка M, которая находится вне этой плоскости. Пусть N будет центром проекции точки M на плоскость ABCD.

Теперь рассмотрим косые от точки M к вершинам квадрата A, B, C и D. Обозначим эти косые как MA, MB, MC и MD соответственно.

Заметим, что каждая из этих косых образует равные углы с плоскостью квадрата. Мы можем доказать это, взяв две из этих косых, например, MA и MB, и сравнив углы, образованные ими с плоскостью ABCD.

Поскольку MA и MB проходят через точку M и противоположные вершины квадрата, то они лежат в одной плоскости. Плоскость ABCD является плоскостью этого квадрата и проходит через его вершины A, B, C и D.

Таким образом, MA и MB лежат в плоскости ABCD и образуют равные углы с этой плоскостью. Аналогично, можно доказать, что косые MC и MD также образуют равные углы с плоскостью ABCD.

Теперь рассмотрим центр проекции точки M на плоскость ABCD, обозначенный как N. Этот центр проекции является пересечением перпендикуляров, проведенных из точки M к плоскости ABCD.

Поскольку центр проекции является пересечением перпендикуляров, проведенных из точки M, и эти перпендикуляры образуют равные углы с плоскостью ABCD, то центр проекции N совпадает с точкой M.

Таким образом, можно сделать вывод, что центр проекции точки M на плоскость ABCD совпадает с точкой M, которая лежит вне этой плоскости, и косые MA, MB, MC и MD образуют равные углы с плоскостью квадрата.

На рисунке ниже вы можете видеть визуализацию этого положения:

\[
\begin{array}{lll}
& A & \\
& | \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M\\
& | \\
& | \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \