Докажите, что четырехугольник ABDC является квадратом при заданных координатах его вершин: A(-3;5;6), B(1;-5;7

Pchelka

23

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, нам необходимо проверить два условия:

1. Все стороны четырехугольника должны быть равны.
2. Все углы четырехугольника должны быть прямыми (равняться 90 градусам).

Для начала, найдем длины сторон четырехугольника ABDC, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\)
\(BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2}\)
\(CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2}\)
\(DA = \sqrt{(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2 + (z_A - z_D)^2}\)

Подставим заданные координаты:

\(AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2 + (7 - 6)^2}\)
\(BC = \sqrt{(8 - 1)^2 + (-3 - (-5))^2 + (-1 - 7)^2}\)
\(CD = \sqrt{(4 - 8)^2 + (7 - (-3))^2 + (-2 - (-1))^2}\)
\(DA = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (5 - 7)^2 + (6 - (-2))^2}\)

Посчитаем каждое из этих значений:

\(AB = \sqrt{4^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117}\)
\(BC = \sqrt{7^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117}\)
\(CD = \sqrt{(-4)^2 + (10)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117}\)
\(DA = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + (8)^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117}\)

Теперь, чтобы убедиться в том, что углы четырехугольника ABCD прямые, мы можем найти векторные произведения двух смежных сторон. Если векторное произведение равно нулю, то угол между сторонами является прямым.

Вычислим векторные произведения для сторон AB и BC, BC и CD, CD и DA, и DA и AB.

Векторное произведение между AB и BC:

\(\vec{AB} = (1 - (-3), -5 - 5, 7 - 6) = (4, -10, 1)\)
\(\vec{BC} = (8 - 1, -3 - (-5), -1 - 7) = (7, 2, -8)\)
\(\vec{AB} \times \vec{BC} = (4, -10, 1) \times (7, 2, -8)\)

Чтобы найти векторное произведение, мы можем использовать правило пифагоровой тройки или формулу:

\(\vec{AB} \times \vec{BC} = (y_1z_2 - y_2z_1, x_2z_1 - x_1z_2, x_1y_2 - x_2y_1)\)

Применяя эту формулу, мы получим:

\(\vec{AB} \times \vec{BC} = (-10 \times (-8) - 2 \times 1, 7 \times 1 - 4 \times (-8), 4 \times 2 - (-10) \times 7)\)
\(\vec{AB} \times \vec{BC} = (80 - 2, 7 + 32, 8 + 70)\)
\(\vec{AB} \times \vec{BC} = (78, 39, 78)\)

Теперь проведем вычисления для оставшихся векторных произведений:

\(\vec{BC} \times \vec{CD} = (7, 2, -8) \times (-4, 10, -1) = (-64, 22, -84)\)
\(\vec{CD} \times \vec{DA} = (-4, 10, -1) \times (-7, -2, 8) = (-18, -44, 58)\)
\(\vec{DA} \times \vec{AB} = (-7, -2, 8) \times (4, -10, 1) = (-36, 29, -58)\)

Теперь, чтобы убедиться в том, что все углы являются прямыми, нам необходимо проверить, равны ли все векторные произведения нулю:

\(\vec{AB} \times \vec{BC} = (78, 39, 78)\)
\(\vec{BC} \times \vec{CD} = (-64, 22, -84)\)
\(\vec{CD} \times \vec{DA} = (-18, -44, 58)\)
\(\vec{DA} \times \vec{AB} = (-36, 29, -58)\)

Поскольку все векторные произведения не равны нулю, мы можем заключить, что углы ABC и CDA не являются прямыми, и поэтому четырехугольник ABDC не является квадратом.

Итак, четырехугольник ABDC не является квадратом на основании изученных доказательств и вычислений координат его вершин.