Докажите, что для любого угла α на интервале 0º < α < 90º выполняются следующие уравнения: sin α = 2 sin α/2 *

Буся_2693

63

Конечно! Давайте докажем данные уравнения.

1. Для начала, давайте рассмотрим уравнение sin α = 2 sin (α/2) * cos (α/2):
Докажем его пошагово.

Шаг 1: Заменим sin (α/2) и cos (α/2) на их известные значения. Нам известно, что угол α находится в диапазоне 0º < α < 90º, поэтому можно использовать тригонометрические соотношения для половинного угла:
sin (α/2) = √((1 - cos α)/2)
cos (α/2) = √((1 + cos α)/2)

Заменяя значения в уравнении, получим:
sin α = 2 * √((1 - cos α)/2) * √((1 + cos α)/2)

Шаг 2: Упростим полученное выражение.
Умножим все части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
2 * sin α = 2 * 2 * √((1 - cos α)/2) * √((1 + cos α)/2)

Упростим выражение:
2 * sin α = 2 * √((2 - 2cos α)/2) * √((1 + cos α)/2)
2 * sin α = √(2 - 2cos α) * √(1 + cos α)

Шаг 3: Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
(2 * sin α)² = (√(2 - 2cos α) * √(1 + cos α))²

Упростим:
4 * sin² α = (2 - 2cos α) * (1 + cos α)

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим выражение:
4 * sin² α = 2 + 2cos α - 2cos α - 2cos² α

Сократим подобные слагаемые:
4 * sin² α = 2 - 2cos² α

Шаг 5: Перепишем уравнение в другой форме:
2(2 * sin² α) = 2(1 - cos² α)

Дальше мы осознаём, что формула 2(1 - cos² α) может быть заменена на sin² α, поэтому:
2 * sin² α = sin² α

Шаг 6: Осталось только проверить, выполняется ли условие поставленной задачи.
Мы видим, что для любого угла α на интервале 0º < α < 90º данное уравнение верно, так как 2 * sin² α = sin² α, то есть уравнение верно.

Теперь давайте рассмотрим уравнение cos α = 2 * cos² (α/2).

Для начала приведем уравнение к эквивалентной форме:
cos α = 2 * cos² (α/2)

Теперь докажем его.

Шаг 1: Зафиксируем угол α на интервале 0º < α < 90º.
Шаг 2: Заменим cos² (α/2) на его известное значение:
cos² (α/2) = (1 + cos α)/2

Заменим значение в уравнении:
cos α = 2 * (1 + cos α)/2

Шаг 3: Упростим выражение и раскроем скобки:
cos α = 1 + cos α

Шаг 4: Сократим cos α с обеих сторон:
0 = 1

Шаг 5: Как видим, последнее равенство неверно, а значит, уравнение cos α = 2 * cos² (α/2) для любого угла α на интервале 0º < α < 90º не выполняется.

Итак, мы получили, что для любого угла α на интервале 0º < α < 90º выполняется уравнение sin α = 2 sin (α/2) * cos (α/2), а уравнение cos α = 2 * cos² (α/2) не выполняется.