Докажите, что для n> 2, возможно представить факториал числа n!, как сумму его n различных делителей

Ягуар

34

Хорошо, давайте рассмотрим данную задачу и докажем, что для \(n > 2\) факториал числа \(n!\) можно представить в виде суммы его \(n\) различных делителей.

Давайте начнем с определения факториала числа \(n\). Факториал \(n!\) определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\), то есть:
\[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n\]

Теперь представим каждый делитель числа \(n!\) в виде суммы двух чисел: самого делителя и его парного делителя. Например, для делителя 2, парным делителем будет число \(\frac{n!}{2}\).

Для дальнейшего доказательства, предположим, что существует некоторое число \(k\) (\(1 \leq k \leq n/2\)), которое делит \(n!\). Тогда можно записать:
\[k \cdot \left(\frac{n!}{k}\right) = n!\]

Таким образом, мы получаем сумму двух различных делителей числа \(n!\): \(k\) и \(\frac{n!}{k}\).

Данный процесс можно продолжать для каждого делителя числа \(n!\), получая \(n/2\) сумм. Заметим, что \(n\) делится на свои множители, поэтому каждый из этих делителей будет различным для значения \(k\).

Таким образом, мы представили факториал числа \(n!\) в виде суммы его \(n\) различных делителей.

Задача доказана.