Каков косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка касания вписанной окружности делит

Джек

26

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи
У нас есть равнобедренный треугольник, у которого точка касания вписанной окружности делит одну из боковых сторон на два отрезка. Мы хотим найти косинус угла при основании этого треугольника.

Шаг 2: Заготовка фигуры
Чтобы наглядно представить себе задачу, нарисуем равнобедренный треугольник и вписанную окружность. Обозначим точку касания окружности с боковой стороной треугольника как точку \(P\).

(Фигура с изображением треугольника и вписанной окружности)

Шаг 3: Определение отрезков
Определим длину отрезков, на которые делится боковая сторона треугольника точкой \(P\). Пусть длина всей боковой стороны равна \(2x\), тогда каждый отрезок будет иметь длину \(x\).

Шаг 4: Использование теоремы Пифагора
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить длину основания треугольника через длину стороны и радиус вписанной окружности. Так как треугольник равнобедренный, длина основания также будет равна \(2x\).

Вспомним, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенуза - это диаметр вписанной окружности, а катеты - это половина основания треугольника (\(x\)) и радиус вписанной окружности (\(r\)).

Применяя теорему Пифагора, получим:

\[r^2 = x^2 + x^2\]
\[r^2 = 2x^2\]

Шаг 5: Нахождение косинуса угла
Теперь мы можем выразить косинус угла при основании треугольника, используя связь косинуса угла и радиуса вписанной окружности. Мы знаем, что:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{r}{x}\]

Подставим значение \(r^2\) из предыдущего шага:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{\sqrt{2x^2}}{x} = \sqrt{2}\]

Таким образом, косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен \(\sqrt{2}\).

Шаг 6: Ответ
Итак, косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка касания вписанной окружности делит его боковую сторону на два отрезка длиной 7, равен \(\sqrt{2}\).

Надеюсь, это решение было понятным для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!