Докажите, что функция f(x)=5/x+2 убывает на интервале (-2

Хорёк

14

Для доказательства того, что функция \(f(x) = \frac{5}{x} + 2\) убывает на интервале \((-2,+\infty)\), мы можем использовать производную функции. Если производная является отрицательной на данном интервале, то это означает, что функция убывает на этом интервале.

Давайте начнем с вычисления производной функции \(f"(x)\):
\[
f"(x) = \left(\frac{5}{x} + 2\right)"
\]

Для этого нам нужно использовать правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования частного. Применяя эти правила, получим:
\[
f"(x) = \frac{5}{x^2}
\]

Теперь нам нужно проанализировать знак производной на интервале \((-2,+\infty)\). Для этого мы можем выбрать точку внутри этого интервала и проанализировать знак производной вокруг этой точки.

Выберем точку \(x = 0\) внутри интервала \((-2,+\infty)\) и вычислим значение производной в этой точке:
\[
f"(0) = \frac{5}{0^2} = \text{неопределено}
\]

Заметим, что значение производной в точке \(x = 0\) неопределено, поскольку это деление на ноль. Однако, вследствие этого, функция \(f(x)\) имеет вертикальные асимптоты в точке \(x = 0\).

Теперь давайте проанализируем производную на интервале \((-2,0)\). Выберем точку \(x = -1\) в этом интервале и вычислим значение производной в этой точке:
\[
f"(-1) = \frac{5}{(-1)^2} = 5
\]

Заметим, что значение производной в точке \(x = -1\) положительно. Это означает, что функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-2,0)\).

Наконец, проанализируем производную на интервале \( (0, +\infty) \). Выберем точку \(x = 1\) в этом интервале и вычислим значение производной в этой точке:
\[
f"(1) = \frac{5}{1^2} = 5
\]

Заметим, что значение производной в точке \(x = 1\) также положительно. Это означает, что функция \(f(x)\) возрастает на интервале \( (0, +\infty) \).

Исходя из этих результатов, мы можем заключить, что функция \(f(x) = \frac{5}{x} + 2\) убывает на интервале \( (-2, +\infty) \).