Пожалуйста, докажите, что число х делится на 3, если на доске размером 30хх клеток размещено 10 ладей так, что каждая

Сверкающий_Пегас

34

Данная задача можно решить, рассмотрев различные варианты исходов.

Предположим, что на доске размером 30хх клеток размещено 10 ладей в описанных условиях. Давайте обозначим количество ладей, расположенных в одной вертикали, через \(x_i\), а количество ладей, расположенных в одной горизонтали, через \(y_i\), где \(i\) - номер соответствующей вертикали или горизонтали.

Так как в каждой вертикали и горизонтали есть как минимум одна ладья, то \(\sum_{i=1}^{30} x_i = 10\) и \(\sum_{i=1}^{x} y_i = 10\).

Также, из условия, каждая ладья бьет ровно одну другую, следовательно, количество уникальных клеток, занятых ладьями, равно 10. Это означает, что \(\sum_{i=1}^{30} x_i = \sum_{i=1}^{x} y_i = 10\).

Далее, заметим, что если число \(x\) делится на 3, то расположение ладей на доске также удовлетворяет условиям задачи. Для доказательства этого рассмотрим остатки от деления \(x\) на 3:

- Пусть \(x \equiv 0 \pmod{3}\). В этом случае каждая вертикаль содержит ладьи в количестве, кратном 3 (т.е. 3, 6 или 9 ладей). Аналогично, каждая горизонталь содержит ладьи в количестве, кратном 3. Так как сумма \(x_i\) и \(y_i\) равна 10, то сумма всех \(x_i\) и \(y_i\) также будет кратна 3.
- Пусть \(x \equiv 1 \pmod{3}\). Аналогично предыдущему случаю, только одна из вертикалей содержит 1 ладью, а остальные - кратное 3. Также сумма \(x_i\) и \(y_i\) будет кратна 3.
- Пусть \(x \equiv 2 \pmod{3}\). Аналогично предыдущим случаям, только две из вертикалей содержат 2 ладьи, а остальные - кратное 3. Сумма также будет кратна 3.

Таким образом, мы показали, что если число \(x\) делится на 3, то условия задачи выполняются.