Пожалуйста, докажите, что число х делится на 3, если на доске размером 30хх клеток размещено 10 ладей так, что каждая

Сверкающий_Пегас

34

Данная задача можно решить, рассмотрев различные варианты исходов.

Предположим, что на доске размером 30хх клеток размещено 10 ладей в описанных условиях. Давайте обозначим количество ладей, расположенных в одной вертикали, через $x_i$, а количество ладей, расположенных в одной горизонтали, через $y_i$, где $i$ - номер соответствующей вертикали или горизонтали.

Так как в каждой вертикали и горизонтали есть как минимум одна ладья, то $\sum _{i=1}^{30}{x}_i=10$ и $\sum _{i=1}^x{y}_i=10$.

Также, из условия, каждая ладья бьет ровно одну другую, следовательно, количество уникальных клеток, занятых ладьями, равно 10. Это означает, что $\sum _{i=1}^{30}{x}_i=\sum _{i=1}^x{y}_i=10$.

Далее, заметим, что если число $x$ делится на 3, то расположение ладей на доске также удовлетворяет условиям задачи. Для доказательства этого рассмотрим остатки от деления $x$ на 3:

- Пусть $x\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. В этом случае каждая вертикаль содержит ладьи в количестве, кратном 3 (т.е. 3, 6 или 9 ладей). Аналогично, каждая горизонталь содержит ладьи в количестве, кратном 3. Так как сумма $x_i$ и $y_i$ равна 10, то сумма всех $x_i$ и $y_i$ также будет кратна 3.
- Пусть $x\equiv 1(\mathrm{mod}3)$. Аналогично предыдущему случаю, только одна из вертикалей содержит 1 ладью, а остальные - кратное 3. Также сумма $x_i$ и $y_i$ будет кратна 3.
- Пусть $x\equiv 2(\mathrm{mod}3)$. Аналогично предыдущим случаям, только две из вертикалей содержат 2 ладьи, а остальные - кратное 3. Сумма также будет кратна 3.

Таким образом, мы показали, что если число $x$ делится на 3, то условия задачи выполняются.